1. Énoncé du problème. Calculer $\sin^2(41^\circ)-4\cos(40^\circ)+\sin^2(49^\circ)+4\sin(40^\circ)\tan(50^\circ)$ (angles en degrés). 2. Formules et règles utiles. Utiliser $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. Utiliser $\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$ et $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. 3. Application des identités. Remarquer que $49^\circ=90^\circ-41^\circ$ donc $\sin(49^\circ)=\cos(41^\circ)$. Ainsi $\sin^2(41^\circ)+\sin^2(49^\circ)=\sin^2(41^\circ)+\cos^2(41^\circ)=1$. 4. Simplification du terme avec la tangente. Comme $50^\circ=90^\circ-40^\circ$ on a $\tan(50^\circ)=\dfrac{\cos(40^\circ)}{\sin(40^\circ)}$. Donc $4\sin(40^\circ)\tan(50^\circ)=4\sin(40^\circ)\cdot\dfrac{\cos(40^\circ)}{\sin(40^\circ)}$. Montrer l'annulation du facteur $\sin(40^\circ)$: $$4\sin(40^\circ)\cdot\dfrac{\cos(40^\circ)}{\cancel{\sin(40^\circ)}}=4\cos(40^\circ)$$ Ainsi ces deux termes se compensent: $-4\cos(40^\circ)+4\cos(40^\circ)=0$. 5. Conclusion. La somme devient $1+0=1$. Réponse finale: $1$.