1. Énoncé du problème : Soit un triangle rectangle en A avec différentes données pour les côtés AB, AC, et BC. Nous devons calculer les longueurs manquantes et les valeurs des fonctions trigonométriques cosinus, sinus, et tangente des angles B et C. 2. Rappel des formules importantes : - Théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ - Cosinus d'un angle dans un triangle rectangle : $$\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$ - Sinus d'un angle : $$\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$ - Tangente d'un angle : $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$ --- ### Question 11.1 (AB=5, AC=2) 1) a) Calcul de BC : $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$ b) Calcul de $\cos B$ et $\cos C$ : - Angle B est adjacent à AB et opposé à AC, donc : $$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{\sqrt{29}}$$ - Angle C est adjacent à AC et opposé à AB, donc : $$\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{\sqrt{29}}$$ c) Calcul de $\sin B$ et $\sin C$ : - $$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{29}} = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}}$$ - $$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{29}} = \sqrt{\frac{25}{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$$ (d) Calcul de $\tan B$ et $\tan C$ : - $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{2}{\sqrt{29}}}{\frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{2}{5}$$ - $$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{5}{\sqrt{29}}}{\frac{2}{\sqrt{29}}} = \frac{5}{2}$$ --- ### Question 11.2 (AB=\sqrt{3}, BC=\sqrt{7}) a) Calcul de AC : $$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2$$ b) Calcul de $\sin B$ et $\sin C$ : - $$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$ - $$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$ - $$\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$ - $$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$ c) Calcul de $\tan B$ et $\tan C$ : - $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ - $$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ --- ### Question 11.3 (BC=8, $\cos C = \frac{3}{4}$) a) Calcul de $\sin C$ : $$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ b) Calcul de $\cos B$ et $\sin B$ : - Puisque $B$ et $C$ sont complémentaires dans un triangle rectangle, on a : $$\cos B = \sin C = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ $$\sin B = \cos C = \frac{3}{4}$$ c) Calcul de $\tan B$ et $\tan C$ : - $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$$ - $$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$ d) Calcul de AC et AB : - $$AC = BC \times \cos C = 8 \times \frac{3}{4} = 6$$ - $$AB = BC \times \sin C = 8 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}$$ --- **Réponse finale :** - 11.1 : $BC=\sqrt{29}$, $\cos B=\frac{5}{\sqrt{29}}$, $\cos C=\frac{2}{\sqrt{29}}$, $\sin B=\frac{2}{\sqrt{29}}$, $\sin C=\frac{5}{\sqrt{29}}$, $\tan B=\frac{2}{5}$, $\tan C=\frac{5}{2}$ - 11.2 : $AC=2$, $\sin B=\frac{2}{\sqrt{7}}$, $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$, $\tan B=\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\tan C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 11.3 : $\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\sin B=\frac{3}{4}$, $\tan B=\frac{3}{\sqrt{7}}$, $\tan C=\frac{\sqrt{7}}{3}$, $AC=6$, $AB=2\sqrt{7}$