1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle rectangle en A avec les côtés $AB=2,5$ et $AC=4$. 2. **Calcul des mesures des côtés :** Le triangle est rectangle en A, donc $BC$ est l'hypoténuse. On utilise le théorème de Pythagore : $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2,5^2 + 4^2} = \sqrt{6,25 + 16} = \sqrt{22,25}$$ $$BC \approx 4,72$$ 3. **Calcul des fonctions trigonométriques en B :** - $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{\text{côté opposé à } B}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{4,72} \approx 0,85$ - $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{2,5}{4,72} \approx 0,53$ - $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{2,5} = 1,6$ 4. **En déduire $\cos(\widehat{AB})$ et $\sin(\widehat{AB})$ :** Puisque le triangle est rectangle en A, $\widehat{AB}$ est l'angle en A adjacent à $AB$ et opposé à $AC$. - $\cos(\widehat{AB}) = \frac{AB}{BC} = \frac{2,5}{4,72} \approx 0,53$ - $\sin(\widehat{AB}) = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{4,72} \approx 0,85$ 5. **Soit H le projet orthogonal de A sur (BC) :** a. Montrer que $AH = \frac{4,5}{3}$ Le projet orthogonal $H$ de $A$ sur $BC$ signifie que $AH$ est la hauteur issue de $A$ sur $BC$. La hauteur dans un triangle rectangle est donnée par : $$AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{2,5 \times 4}{4,72} = \frac{10}{4,72} \approx 2,12$$ Or $\frac{4,5}{3} = 1,5$, donc il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou une autre interprétation. 6. **Calcul de $BH$ :** Puisque $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur $BC$, on peut utiliser la relation : $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{2,5^2 - 2,12^2} = \sqrt{6,25 - 4,49} = \sqrt{1,76} \approx 1,33$$