1. Énonçons le problème : Calculer la valeur exacte de l'expression $$A = 4 \times \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \sin(-\pi) - 7\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$$. 2. Rappel des formules et propriétés importantes : - La fonction cosinus est paire, donc $$\cos(-x) = \cos(x)$$. - La fonction sinus est impaire, donc $$\sin(-x) = -\sin(x)$$. - $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. 3. Calculons chaque terme : - $$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$. - $$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$$. - $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$. 4. Substituons dans l'expression : $$A = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 - 7 \times \frac{1}{2}$$ 5. Simplifions : $$A = -2 - \frac{7}{2}$$ 6. Mettons sous un dénominateur commun : $$A = -\frac{4}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{11}{2}$$ 7. Conclusion : La valeur exacte de $$A$$ est $$-\frac{11}{2}$$.