1. **Énoncé du problème :** Trouver la valeur exacte de l'expression $$A = 4 \times \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \sin(-\pi) - 7\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ avec $x \in [0; 2\pi[$. 2. **Rappel des formules et propriétés importantes :** - La fonction cosinus est paire, donc $$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$. - La fonction sinus est impaire, donc $$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$. - Valeurs trigonométriques exactes : - $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$ - $$\sin(\pi) = 0$$ - $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. **Calcul de chaque terme :** - $$4 \times \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \times \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$$ - $$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0$$ - $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 4. **Substitution dans l'expression :** $$A = -2 + 0 - 7 \times \frac{1}{2}$$ 5. **Simplification :** $$A = -2 - \frac{7}{2} = \frac{-4}{2} - \frac{7}{2} = \frac{-4 - 7}{2} = \frac{-11}{2}$$ 6. **Réponse finale :** $$\boxed{A = -\frac{11}{2}}$$