1. **Planteamiento del problema:** Una persona observa una torre con un ángulo de elevación de 15°, camina 14 metros hacia ella y ahora la observa con un ángulo de elevación de 32°. Se debe hallar la altura de la torre $H$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Usamos la tangente del ángulo de elevación en triángulos rectángulos para relacionar la altura de la torre con la distancia horizontal al pie de la torre. La fórmula general es: $$\tan(\theta) = \frac{H}{d}$$ donde $\theta$ es el ángulo de elevación, $H$ la altura de la torre y $d$ la distancia horizontal desde el observador al pie de la torre. 3. **Definición de variables:** - Sea $x$ la distancia inicial desde la persona a la torre. - Después de caminar 14 m, la distancia es $x - 14$. 4. **Ecuaciones a partir de los ángulos:** Para el primer ángulo de 15°: $$\tan(15°) = \frac{H}{x} \Rightarrow H = x \tan(15°)$$ Para el segundo ángulo de 32°: $$\tan(32°) = \frac{H}{x - 14} \Rightarrow H = (x - 14) \tan(32°)$$ 5. **Igualamos las dos expresiones de $H$ para encontrar $x$:** $$x \tan(15°) = (x - 14) \tan(32°)$$ 6. **Desarrollamos y simplificamos:** $$x \tan(15°) = x \tan(32°) - 14 \tan(32°)$$ $$x \tan(15°) - x \tan(32°) = -14 \tan(32°)$$ $$x (\tan(15°) - \tan(32°)) = -14 \tan(32°)$$ 7. **Multiplicamos ambos lados por $-1$ para simplificar:** $$x (\tan(32°) - \tan(15°)) = 14 \tan(32°)$$ 8. **Despejamos $x$:** $$x = \frac{14 \tan(32°)}{\tan(32°) - \tan(15°)}$$ 9. **Calculamos valores numéricos:** $$\tan(15°) \approx 0.2679$$ $$\tan(32°) \approx 0.6249$$ 10. **Sustituimos:** $$x = \frac{14 \times 0.6249}{0.6249 - 0.2679} = \frac{8.7486}{0.357} \approx 24.5$$ 11. **Calculamos la altura $H$ usando $H = x \tan(15°)$:** $$H = 24.5 \times 0.2679 \approx 6.56$$ **Respuesta final:** La altura de la torre es aproximadamente $6.56$ metros.