1. **Planteamiento del problema:** Queremos construir y analizar la gráfica de una función trigonométrica que tenga la misma forma que la función coseno, es decir, una función periódica que oscile entre 1 y -1 con un periodo de $360^\circ$ o $2\pi$ radianes. 2. **Elección de la función:** La función coseno es $y=\cos(x)$, donde $x$ está en radianes. Para crear una función con la misma forma, podemos usar la función seno desplazada, por ejemplo: $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ Esto es porque $\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x)$. 3. **Transformación de radianes a grados:** Recordemos que $\pi$ radianes equivalen a $180^\circ$, por lo que los puntos clave en grados y radianes son: | Grados | Radianes | |--------|----------| | 0 | 0 | | 45 | $\frac{\pi}{4}$ | | 90 | $\frac{\pi}{2}$ | | 135 | $\frac{3\pi}{4}$ | | 180 | $\pi$ | | 225 | $\frac{5\pi}{4}$ | | 270 | $\frac{3\pi}{2}$ | | 315 | $\frac{7\pi}{4}$ | | 360 | $2\pi$ | 4. **Evaluación de la función en puntos clave:** Calculamos $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ en radianes: - $x=0$: $y=\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ - $x=\frac{\pi}{4}$: $y=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=0.7$ - $x=\frac{\pi}{2}$: $y=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi)=0$ - $x=\frac{3\pi}{4}$: $y=\sin\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-0.7$ - $x=\pi$: $y=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$ - $x=\frac{5\pi}{4}$: $y=\sin\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-0.7$ - $x=\frac{3\pi}{2}$: $y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(2\pi)=0$ - $x=\frac{7\pi}{4}$: $y=\sin\left(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)=0.7$ - $x=2\pi$: $y=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1$ 5. **Conclusión:** La función $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ tiene la misma forma y valores clave que la función coseno, por lo que su gráfica será idéntica en forma. 6. **Resumen:** - Función: $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ - Periodo: $2\pi$ - Amplitud: 1 - Valores clave coinciden con la función coseno Esta función puede ser graficada para obtener la misma forma de onda que la función coseno.