1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la función $f(x) = -5 + 4 \sin(3x)$ y se pide: - Definir la posición de los ejes $y'$ y $x'$, la amplitud y el valor de $b$. - Hallar el intervalo de ciclo y el período. - Realizar la gráfica de la función en el intervalo de ciclo con unidades claras. - Determinar el rango de la función. 2. **Definiciones y fórmula:** La función es de la forma general $f(x) = D + A \sin(bx)$ donde: - $D$ es el desplazamiento vertical (posición del eje $y'$). - $A$ es la amplitud (valor absoluto del coeficiente de la función seno). - $b$ afecta el período de la función. El período $T$ se calcula con la fórmula: $$T = \frac{2\pi}{|b|}$$ 3. **Identificación de parámetros:** - Desplazamiento vertical $D = -5$, por lo que el eje $y'$ está desplazado 5 unidades hacia abajo. - Amplitud $A = |4| = 4$. - Valor de $b = 3$. 4. **Cálculo del período:** $$T = \frac{2\pi}{3}$$ 5. **Intervalo de ciclo:** El ciclo completo de la función seno ocurre en un intervalo de longitud $T$, por lo que el intervalo de ciclo puede ser: $$[0, \frac{2\pi}{3}]$$ 6. **Rango de la función:** El rango de $f(x)$ es: $$[D - A, D + A] = [-5 - 4, -5 + 4] = [-9, -1]$$ 7. **Gráfica:** La función oscila entre $-9$ y $-1$ con un ciclo completo en $[0, \frac{2\pi}{3}]$. **Resumen:** - Eje $y'$: desplazado a $y = -5$. - Eje $x'$: eje original $x$. - Amplitud: 4. - $b = 3$. - Período: $\frac{2\pi}{3}$. - Intervalo de ciclo: $[0, \frac{2\pi}{3}]$. - Rango: $[-9, -1]$.