1. **Planteamiento del problema:** Demostrar que $$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} = 4 \tan x \sec x$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Recordemos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. - Para restar fracciones, usamos el común denominador. 3. **Desarrollo:** Calculamos el lado izquierdo (LHS): $$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} = \frac{(1 + \sin x)^2 - (1 - \sin x)^2}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}$$ 4. Expandimos los cuadrados: $$(1 + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x + \sin^2 x$$ $$(1 - \sin x)^2 = 1 - 2\sin x + \sin^2 x$$ 5. Restamos los numeradores: $$[1 + 2\sin x + \sin^2 x] - [1 - 2\sin x + \sin^2 x] = 1 + 2\sin x + \sin^2 x - 1 + 2\sin x - \sin^2 x = 4 \sin x$$ 6. Simplificamos el denominador usando identidad: $$(1 - \sin x)(1 + \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$$ 7. Por lo tanto, el LHS es: $$\frac{4 \sin x}{\cos^2 x}$$ 8. Ahora expresamos el lado derecho (RHS): $$4 \tan x \sec x = 4 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{4 \sin x}{\cos^2 x}$$ 9. Como LHS = RHS, la identidad queda demostrada. **Respuesta final:** $$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} = 4 \tan x \sec x$$