1. Planteamos el problema: Demostrar la igualdad $$\sin^{\frac{1}{2}} B \sec^{3} B + \cos^{\frac{1}{2}} B \csc^{3} B = \sec^{2} B \csc^{3} B$$ 2. Recordemos las identidades trigonométricas básicas: - $\sec B = \frac{1}{\cos B}$ - $\csc B = \frac{1}{\sin B}$ 3. Reescribimos cada término usando estas identidades: $$\sin^{\frac{1}{2}} B \sec^{3} B = \sin^{\frac{1}{2}} B \left(\frac{1}{\cos B}\right)^3 = \frac{\sin^{\frac{1}{2}} B}{\cos^{3} B}$$ $$\cos^{\frac{1}{2}} B \csc^{3} B = \cos^{\frac{1}{2}} B \left(\frac{1}{\sin B}\right)^3 = \frac{\cos^{\frac{1}{2}} B}{\sin^{3} B}$$ 4. Sumamos los términos: $$\frac{\sin^{\frac{1}{2}} B}{\cos^{3} B} + \frac{\cos^{\frac{1}{2}} B}{\sin^{3} B}$$ 5. Para sumar, buscamos común denominador $\cos^{3} B \sin^{3} B$: $$\frac{\sin^{\frac{1}{2}} B \sin^{3} B}{\cos^{3} B \sin^{3} B} + \frac{\cos^{\frac{1}{2}} B \cos^{3} B}{\sin^{3} B \cos^{3} B} = \frac{\sin^{\frac{7}{2}} B + \cos^{\frac{7}{2}} B}{\cos^{3} B \sin^{3} B}$$ 6. Simplificamos los exponentes: $$\sin^{\frac{7}{2}} B = \sin^{3 + \frac{1}{2}} B = \sin^{3} B \sin^{\frac{1}{2}} B$$ $$\cos^{\frac{7}{2}} B = \cos^{3 + \frac{1}{2}} B = \cos^{3} B \cos^{\frac{1}{2}} B$$ 7. Observamos que el numerador es: $$\sin^{3} B \sin^{\frac{1}{2}} B + \cos^{3} B \cos^{\frac{1}{2}} B$$ 8. No hay una simplificación directa evidente, pero recordemos que el lado derecho es: $$\sec^{2} B \csc^{3} B = \frac{1}{\cos^{2} B} \cdot \frac{1}{\sin^{3} B} = \frac{1}{\cos^{2} B \sin^{3} B}$$ 9. Volvemos al lado izquierdo y factorizamos: $$\frac{\sin^{\frac{1}{2}} B}{\cos^{3} B} + \frac{\cos^{\frac{1}{2}} B}{\sin^{3} B} = \frac{\sin^{\frac{1}{2}} B \sin^{3} B + \cos^{\frac{1}{2}} B \cos^{3} B}{\cos^{3} B \sin^{3} B}$$ 10. Simplificamos el numerador: $$\sin^{\frac{1}{2}} B \sin^{3} B = \sin^{\frac{7}{2}} B$$ $$\cos^{\frac{1}{2}} B \cos^{3} B = \cos^{\frac{7}{2}} B$$ 11. Por lo tanto: $$\frac{\sin^{\frac{7}{2}} B + \cos^{\frac{7}{2}} B}{\cos^{3} B \sin^{3} B}$$ 12. Ahora, intentamos expresar $\sin^{\frac{7}{2}} B + \cos^{\frac{7}{2}} B$ en términos de $\cos^{2} B \sin^{3} B$ para igualar el denominador del lado derecho. Sin embargo, esta expresión no se simplifica directamente a $1$ o a una forma que cancele el denominador. 13. Por lo tanto, revisamos la expresión original y notamos que puede haber un error en la formulación o que la igualdad no es válida para todos los valores de $B$. 14. Concluimos que la igualdad dada no se cumple en general con las identidades trigonométricas básicas. Respuesta final: La igualdad no es verdadera para todos los valores de $B$ con las identidades trigonométricas estándar.