1. Planteamos el problema: Demostrar la identidad trigonométrica $$\tan(x) + \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} = \sec(x)$$. 2. Recordemos las definiciones y fórmulas importantes: - $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ - $$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$$ - La identidad fundamental: $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$ 3. Empezamos con el lado izquierdo (LHS): $$\tan(x) + \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)}$$ 4. Buscamos un denominador común para sumar las fracciones: $$\text{Denominador común} = \cos(x)(1 + \sin(x))$$ 5. Reescribimos cada término con el denominador común: $$\frac{\sin(x)(1 + \sin(x))}{\cos(x)(1 + \sin(x))} + \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)(1 + \sin(x))}$$ 6. Sumamos las fracciones: $$\frac{\sin(x)(1 + \sin(x)) + \cos^2(x)}{\cos(x)(1 + \sin(x))}$$ 7. Expandimos el numerador: $$\sin(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x)$$ 8. Usamos la identidad fundamental $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$ para simplificar: $$\sin(x) + 1$$ 9. Entonces el numerador es $$1 + \sin(x)$$, y la expresión queda: $$\frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)(1 + \sin(x))}$$ 10. Cancelamos el factor común $$1 + \sin(x)$$ en numerador y denominador: $$\frac{\cancel{1 + \sin(x)}}{\cos(x)\cancel{(1 + \sin(x))}} = \frac{1}{\cos(x)}$$ 11. Por definición, $$\frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)$$, que es el lado derecho (RHS) de la identidad. 12. Por lo tanto, hemos demostrado que: $$\tan(x) + \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} = \sec(x)$$ Respuesta final: La identidad es verdadera.