1. Planteamos el problema 12: Resolver la ecuación $$\left(\frac{S}{9} - 1\right)^5 + \left(\frac{S}{10} - 1\right)^5 + \left(\frac{2OR}{-1}\right)^5 = 3$$ donde $S$ y $OR$ son variables a determinar. 2. Observamos que la expresión es una suma de potencias quinta de términos fraccionarios. 3. Para simplificar, definimos: $$a = \frac{S}{9} - 1, \quad b = \frac{S}{10} - 1, \quad c = \frac{2OR}{-1}$$ 4. La ecuación queda: $$a^5 + b^5 + c^5 = 3$$ 5. Sin más datos, asumimos que $a = b = c = 1$ para que la suma sea 3, ya que $1^5 + 1^5 + 1^5 = 3$. 6. De $a=1$: $$\frac{S}{9} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{S}{9} = 2 \Rightarrow S = 18$$ 7. De $b=1$: $$\frac{S}{10} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{S}{10} = 2 \Rightarrow S = 20$$ 8. Hay contradicción en $S$, por lo que $a,b,c$ no son iguales. 9. Sin más datos, no se puede resolver exactamente el problema 12. --- 10. Problema 13: "Si al doble del número de grados sexagesimales le adicionamos el número de grados centesimales del mismo ángulo, resultan 80. Determinar la medida del ángulo en radianes." 11. Sea $x$ el ángulo en grados sexagesimales y $y$ en grados centesimales. 12. Sabemos que: $$2x + y = 80$$ 13. Relación entre grados sexagesimales y centesimales: $$y = \frac{10}{9} x$$ 14. Sustituimos: $$2x + \frac{10}{9}x = 80 \Rightarrow \left(2 + \frac{10}{9}\right)x = 80 \Rightarrow \frac{28}{9}x = 80$$ 15. Despejamos $x$: $$x = \frac{80 \times 9}{28} = \frac{720}{28} = 25.7143^{\circ}$$ 16. Convertimos a radianes: $$x_{rad} = 25.7143 \times \frac{\pi}{180} = \frac{25.7143\pi}{180} = \frac{9\pi}{63} = \frac{\pi}{7}$$ 17. Respuesta: $\boxed{\frac{\pi}{7} \text{ rad}}$ --- 18. Problema 14: "El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es 8. Calcular la medida radial del ángulo." 19. Sea $x$ el ángulo en grados sexagesimales y $y$ en grados centesimales. 20. La condición es: $$2x - y = 8$$ 21. Recordando que: $$y = \frac{10}{9} x$$ 22. Sustituimos: $$2x - \frac{10}{9}x = 8 \Rightarrow \left(2 - \frac{10}{9}\right)x = 8 \Rightarrow \frac{8}{9}x = 8$$ 23. Despejamos $x$: $$x = \frac{8 \times 9}{8} = 9^{\circ}$$ 24. Convertimos a radianes: $$x_{rad} = 9 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{20}$$ 25. Respuesta: $\boxed{\frac{\pi}{20} \text{ rad}}$