1. Planteamos el problema: Dado que $a$ es un ángulo agudo y se cumple que $\sec a = 2 \tan 45^\circ$, debemos calcular $P = \sin a \cdot \tan a$. 2. Recordemos que $\tan 45^\circ = 1$ y que $\sec a = \frac{1}{\cos a}$. 3. Entonces, la ecuación dada es: $$\sec a = 2 \tan 45^\circ \implies \frac{1}{\cos a} = 2 \cdot 1 = 2$$ 4. De aquí despejamos $\cos a$: $$\cos a = \frac{1}{2}$$ 5. Como $a$ es agudo, $\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 6. Calculamos $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ 7. Finalmente, calculamos $P$: $$P = \sin a \cdot \tan a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$$ Respuesta: $P = \frac{3}{2}$.