1. Planteamos el problema: Se nos da que $\tan(\alpha) = -1$ y debemos encontrar las razones trigonométricas de $\alpha$. 2. Recordemos que $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. 3. Dado que $\tan(\alpha) = -1$, entonces $$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -1$$ 4. Esto implica que $$\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$$ 5. Usamos la identidad fundamental: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ 6. Sustituimos $\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$: $$(-\cos(\alpha))^2 + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$2\cos^2(\alpha) = 1$$ 7. Despejamos $\cos(\alpha)$: $$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2}$$ $$\cos(\alpha) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 8. Como $\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$, entonces $$\sin(\alpha) = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 9. Para que $\tan(\alpha) = -1$, $\sin(\alpha)$ y $\cos(\alpha)$ deben tener signos opuestos. 10. Por lo tanto, las razones trigonométricas son: - $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, o - $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 11. Finalmente, las razones trigonométricas son: $$\sin(\alpha) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(\alpha) = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan(\alpha) = -1$$