1. Planteamos el problema: Resolver los triángulos P3, P4, P5 y P6 usando trigonometría, encontrando los lados y ángulos faltantes. 2. Recordamos las fórmulas trigonométricas básicas para triángulos rectángulos: - Seno: $\sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ - Coseno: $\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ - Tangente: $\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$ 3. Triángulo P3: - Datos: cateto vertical $6$ cm, ángulo $63^\circ 27'$ (convertimos a decimal: $63.45^\circ$), ángulo $\alpha$, cateto base $x$, hipotenusa $y$. - Calculamos $\alpha = 90^\circ - 63.45^\circ = 26.55^\circ$. - Usamos tangente para $x$: $$\tan(63.45^\circ) = \frac{6}{x} \Rightarrow x = \frac{6}{\tan(63.45^\circ)}$$ - Calculamos $x$: $$x = \frac{6}{\tan(63.45^\circ)} \approx \frac{6}{2.01} = 2.99$$ - Usamos seno para $y$: $$\sin(63.45^\circ) = \frac{6}{y} \Rightarrow y = \frac{6}{\sin(63.45^\circ)}$$ - Calculamos $y$: $$y = \frac{6}{0.894} = 6.71$$ 4. Triángulo P4: - Datos: cateto vertical $5$ cm, hipotenusa $15$ cm, ángulo $\theta$, cateto base $x$. - Usamos seno para $\theta$: $$\sin(\theta) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$ - Calculamos $\theta$: $$\theta = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ$$ - Calculamos $x$ con coseno: $$\cos(\theta) = \frac{x}{15} \Rightarrow x = 15 \cos(19.47^\circ)$$ - Calculamos $x$: $$x = 15 \times 0.942 = 14.13$$ 5. Triángulo P5: - Datos: lado inclinado $18$ cm (hipotenusa), ángulo $58^\circ$, lados $x$ y $y$. - Usamos coseno para $x$: $$\cos(58^\circ) = \frac{x}{18} \Rightarrow x = 18 \cos(58^\circ)$$ - Calculamos $x$: $$x = 18 \times 0.5299 = 9.54$$ - Usamos seno para $y$: $$\sin(58^\circ) = \frac{y}{18} \Rightarrow y = 18 \sin(58^\circ)$$ - Calculamos $y$: $$y = 18 \times 0.848 = 15.26$$ 6. Triángulo P6: - Datos: cateto horizontal $8u$, cateto vertical $10u$, hipotenusa $X$, ángulos $\theta$ y $\alpha$. - Calculamos hipotenusa $X$ con Pitágoras: $$X = \sqrt{(8u)^2 + (10u)^2} = \sqrt{64u^2 + 100u^2} = \sqrt{164u^2} = u\sqrt{164}$$ - Simplificamos: $$X = u \times \cancel{\sqrt{4}} \sqrt{41} = 2u \sqrt{41}$$ - Calculamos $\theta$ con tangente: $$\tan(\theta) = \frac{10u}{8u} = \frac{10}{8} = 1.25$$ - Calculamos $\theta$: $$\theta = \arctan(1.25) \approx 51.34^\circ$$ - Calculamos $\alpha = 90^\circ - 51.34^\circ = 38.66^\circ$. **Respuesta final:** - P3: $x \approx 2.99$ cm, $y \approx 6.71$ cm, $\alpha \approx 26.55^\circ$ - P4: $\theta \approx 19.47^\circ$, $x \approx 14.13$ cm - P5: $x \approx 9.54$ cm, $y \approx 15.26$ cm - P6: $X = 2u \sqrt{41}$, $\theta \approx 51.34^\circ$, $\alpha \approx 38.66^\circ$