1. Planteamos el problema: calcular el valor exacto de $\sin 96^\circ \cos 66^\circ - \cos 96^\circ \sin 66^\circ$ usando una fórmula de suma o diferencia. 2. Recordamos la fórmula de diferencia para el seno: $$\sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B)$$ 3. Aplicamos la fórmula con $A = 96^\circ$ y $B = 66^\circ$: $$\sin 96^\circ \cos 66^\circ - \cos 96^\circ \sin 66^\circ = \sin(96^\circ - 66^\circ)$$ 4. Simplificamos la resta dentro del seno: $$\sin(96^\circ - 66^\circ) = \sin 30^\circ$$ 5. Sabemos que $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. 6. Por lo tanto, el valor exacto es: $$\boxed{\frac{1}{2}}$$