1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\sin 2x = \cos 60^\circ$$. 2. Recordemos que $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$. 3. La ecuación queda: $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$. 4. Para resolver $$\sin \theta = \frac{1}{2}$$, sabemos que $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ o $$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$, donde $$k$$ es un entero. 5. En nuestro caso, $$\theta = 2x$$, entonces: $$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ o $$2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$. 6. Dividimos ambos lados entre 2 para despejar $$x$$: $$x = \frac{\pi}{12} + k\pi$$ o $$x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$$. 7. Por lo tanto, las soluciones generales son: $$x_1 = \frac{\pi}{12} + k\pi$$ $$x_2 = \frac{5\pi}{12} + k\pi$$ con $$k \in \mathbb{Z}$$. Este es el proceso completo para la primera ecuación.