1. Planteamos el problema: Encontrar las soluciones de la ecuación $$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$$ en el intervalo $$[0, 2\pi]$$ y luego multiplicar dichas soluciones. 2. Usamos la fórmula para combinar términos de la forma $$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$$ donde $$R = \sqrt{a^2 + b^2}$$ y $$\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$. 3. Calculamos $$R$$ y $$\alpha$$: $$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ $$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$ 4. Reescribimos la ecuación: $$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$ 5. Despejamos: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ 6. Encontramos las soluciones para $$x + \frac{\pi}{6}$$ en $$[0, 2\pi + \frac{\pi}{6}]$$: Las soluciones de $$\sin \theta = \frac{1}{2}$$ son $$\theta = \frac{\pi}{6}$$ y $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$. 7. Por lo tanto: $$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = 0$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ 8. Verificamos que ambas soluciones están en el intervalo $$[0, 2\pi]$$, lo cual es cierto. 9. Multiplicamos las soluciones: $$0 \times \frac{2\pi}{3} = 0$$ Respuesta final: $$0$$