1. El problema consiste en evaluar o verificar expresiones trigonométricas usando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos. 2. Las fórmulas clave son: - \(\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\) - \(\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\) - \(\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}\) 3. Evaluamos cada inciso: **a) \(\cos 210^\circ\)** - Sabemos que \(210^\circ = 180^\circ + 30^\circ\) - Usamos \(\cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ\) - \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - Por lo tanto, \(\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) **b) \(\sin 3\alpha \cos 2\beta - \cos 3\alpha \sin 2\beta\)** - Esta expresión es la fórmula de \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) - Por lo tanto, \(\sin 3\alpha \cos 2\beta - \cos 3\alpha \sin 2\beta = \sin(3\alpha - 2\beta)\) **c) Verificar \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x\)** - Usamos la fórmula de diferencia: \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\) - \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos x + \sin \frac{3\pi}{2} \sin x\) - Sabemos que \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\) y \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1\) - Entonces, \(= 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x = -\sin x\) - La igualdad es verdadera. **d) \(\tan 225^\circ\)** - \(225^\circ = 180^\circ + 45^\circ\) - Usamos \(\tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1\) pero en el tercer cuadrante \(\tan\) es positivo - Por lo tanto, \(\tan 225^\circ = 1\) Respuesta final: - a) \(\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) - b) \(\sin 3\alpha \cos 2\beta - \cos 3\alpha \sin 2\beta = \sin(3\alpha - 2\beta)\) - c) \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x\) es verdadero - d) \(\tan 225^\circ = 1\)