1. **Problema:** Calcular el valor de la función trigonométrica de arco $\tan \frac{5}{6} \pi$. 2. **Fórmula y reglas:** La tangente de un ángulo $\theta$ en el círculo unitario es $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. 3. **Evaluación:** Primero, recordamos que $\frac{5}{6} \pi = 150^\circ$ y está en el segundo cuadrante donde $\sin$ es positivo y $\cos$ es negativo. 4. Calculamos $\sin \frac{5}{6} \pi = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$. 5. Calculamos $\cos \frac{5}{6} \pi = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. 6. Entonces, $$\tan \frac{5}{6} \pi = \frac{\sin \frac{5}{6} \pi}{\cos \frac{5}{6} \pi} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{-\sqrt{3}} = \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}} \times \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$ 7. Simplificamos racionalizando el denominador: $$-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ **Respuesta final:** $\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$