1. Planteamos el problema: calcular $\tan(\alpha - \beta)$ dado que $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ con $\alpha$ en el primer cuadrante y $\sin \beta = \frac{8}{17}$ con $\beta$ en el segundo cuadrante. 2. Recordamos la fórmula para la tangente de la diferencia de ángulos: $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$ 3. Ya tenemos $\tan \alpha = \frac{4}{3}$. Ahora calculamos $\tan \beta$ usando $\sin \beta$ y el cuadrante. 4. Como $\sin \beta = \frac{8}{17}$ y $\beta$ está en el segundo cuadrante, $\cos \beta$ es negativo. Usamos la identidad: $$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$$ 5. Calculamos $\tan \beta$: $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}$$ 6. Sustituimos en la fórmula: $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \left(-\frac{8}{15}\right)}{1 + \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{8}{15}\right)} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{8}{15}}{1 - \frac{32}{45}}$$ 7. Sumamos en el numerador con común denominador 15: $$\frac{4}{3} = \frac{20}{15} \Rightarrow \frac{20}{15} + \frac{8}{15} = \frac{28}{15}$$ 8. Simplificamos el denominador: $$1 - \frac{32}{45} = \frac{45}{45} - \frac{32}{45} = \frac{13}{45}$$ 9. Por lo tanto: $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{28}{15}}{\frac{13}{45}} = \frac{28}{15} \cdot \frac{45}{13}$$ 10. Simplificamos: $$\frac{28}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{45}}{13} = \frac{28 \cdot 3}{13} = \frac{84}{13}$$ Respuesta final: $$\boxed{\tan(\alpha - \beta) = \frac{84}{13}}$$