1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la función de temperatura promedio mensual alta en Chicago: $$T(t) = 26.5 \sin\left(\frac{\pi}{6} t - \frac{2\pi}{3}\right) + 56.5$$ donde $t$ es el mes con $t=1$ para enero. 2. **Fórmula y explicación:** Esta función es una función seno que modela la variación periódica de la temperatura a lo largo del año. La función seno es apropiada porque las temperaturas varían de forma cíclica con las estaciones. 3. **Parte (a): Graficar $T$ en $[1,25]$ (dos años).** - El periodo de la función seno es $\frac{2\pi}{(\pi/6)}=12$ meses, que corresponde a un año. - Graficar dos ciclos completos desde $t=1$ hasta $t=25$ muestra la repetición anual. 4. **Parte (b): Calcular el promedio de alta temperatura en julio ($t=7$) y octubre ($t=10$).** Para $t=7$: $$T(7) = 26.5 \sin\left(\frac{\pi}{6} \times 7 - \frac{2\pi}{3}\right) + 56.5$$ Calculemos el argumento del seno: $$\frac{\pi}{6} \times 7 - \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$ Entonces: $$T(7) = 26.5 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 56.5 = 26.5 \times 1 + 56.5 = 83$$ Para $t=10$: $$T(10) = 26.5 \sin\left(\frac{\pi}{6} \times 10 - \frac{2\pi}{3}\right) + 56.5$$ Calculemos el argumento: $$\frac{10\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$$ Entonces: $$T(10) = 26.5 \sin(\pi) + 56.5 = 26.5 \times 0 + 56.5 = 56.5$$ 5. **Parte (c): Encontrar meses con temperatura $\geq 69$°F.** Queremos resolver: $$T(t) \geq 69$$ Sustituyendo: $$26.5 \sin\left(\frac{\pi}{6} t - \frac{2\pi}{3}\right) + 56.5 \geq 69$$ Restamos 56.5: $$26.5 \sin\left(\frac{\pi}{6} t - \frac{2\pi}{3}\right) \geq 12.5$$ Dividimos ambos lados por 26.5: $$\sin\left(\frac{\pi}{6} t - \frac{2\pi}{3}\right) \geq \frac{12.5}{26.5} \approx 0.4717$$ El seno es mayor o igual a 0.4717 en los intervalos: $$\theta \in [\arcsin(0.4717), \pi - \arcsin(0.4717)] + 2k\pi$$ Calculamos: $$\arcsin(0.4717) \approx 0.49$$ Entonces: $$\frac{\pi}{6} t - \frac{2\pi}{3} \in [0.49, \pi - 0.49] + 2k\pi = [0.49, 2.65] + 2k\pi$$ Sumamos $\frac{2\pi}{3}$ a ambos lados: $$\frac{\pi}{6} t \in [0.49 + \frac{2\pi}{3}, 2.65 + \frac{2\pi}{3}] + 2k\pi$$ Calculamos $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$: $$\frac{\pi}{6} t \in [2.584, 4.744] + 2k\pi$$ Dividimos por $\frac{\pi}{6}$: $$t \in \left[\frac{2.584}{\pi/6}, \frac{4.744}{\pi/6}\right] + 12k = [4.94, 9.07] + 12k$$ Para $k=0$, meses entre aproximadamente 5 y 9 (mayo a septiembre). Para $k=1$, meses entre 17 y 21 (mayo a septiembre del segundo año). 6. **Parte (d): Por qué la función seno es apropiada:** - La temperatura varía de forma periódica con las estaciones. - La función seno modela perfectamente ciclos periódicos con amplitud, fase y desplazamiento vertical. - El periodo de 12 meses coincide con el ciclo anual. **Respuesta final:** - Temperatura en julio: $83$°F - Temperatura en octubre: $56.5$°F - Meses con temperatura $\geq 69$°F: aproximadamente de mayo a septiembre cada año.