1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un triángulo rectángulo con un cateto vertical $y = 6.0$ m y un ángulo $ heta = 45^\circ$. Queremos encontrar las longitudes del cateto horizontal $x$ y la hipotenusa $r$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** En un triángulo rectángulo, las relaciones trigonométricas son: $$\sin(\theta) = \frac{y}{r}, \quad \cos(\theta) = \frac{x}{r}, \quad \tan(\theta) = \frac{y}{x}$$ Dado que $\theta = 45^\circ$, sabemos que $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\tan(45^\circ) = 1$. 3. **Encontrar $x$ usando la tangente:** $$\tan(45^\circ) = \frac{y}{x} \Rightarrow 1 = \frac{6.0}{x}$$ Multiplicamos ambos lados por $x$: $$x = 6.0$$ 4. **Encontrar $r$ usando el seno:** $$\sin(45^\circ) = \frac{y}{r} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6.0}{r}$$ Multiplicamos ambos lados por $r$: $$r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6.0$$ Dividimos ambos lados por $\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$r = \frac{6.0}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6.0 \times \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Simplificamos: $$r = 6.0 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 6.0 \times \sqrt{2}$$ 5. **Resultado final:** $$x = 6.0 \text{ m}, \quad r = 6.0 \sqrt{2} \approx 8.49 \text{ m}$$ Por lo tanto, el cateto horizontal mide 6.0 m y la hipotenusa aproximadamente 8.49 m.