1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un triángulo rectángulo $\triangle XYZ$ con lados $x, y, z$ y un ángulo recto en $Z$. Se nos dice que $m \angle X \neq m \angle Y$ y que $\angle X$ y $\angle Y$ son suplementarios. 2. **Parte 1: Ángulos suplementarios** $\angle X + \angle Y = 180^\circ$ porque son suplementarios. 3. **Parte 2: Relaciones trigonométricas en $\triangle XYZ$** - El lado opuesto a $\angle X$ es $x$. - El lado opuesto a $\angle Y$ es $y$. - El lado opuesto a $\angle Z$ (ángulo recto) es la hipotenusa $z$. Fórmulas de seno y coseno: $$\sin(\theta) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$ $$\cos(\theta) = \frac{\text{lado adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$ Para $\angle Y$: $$\sin_Y = \frac{y}{z}$$ Para $\angle X$: $$\cos_X = \frac{y}{z}$$ Para $\angle Y$: $$\cos_Y = \frac{x}{z}$$ Para $\angle X$: $$\sin_X = \frac{x}{z}$$ Por lo tanto: - $\sin_Y = \frac{y}{z}$ - $\cos_X = \frac{y}{z}$ - $\cos_Y = \frac{x}{z}$ - $\sin_X = \frac{x}{z}$ 4. **Parte 3: Selección de enunciados verdaderos** - $\sin X = \sin Y$ es falso porque $\sin X = \frac{x}{z}$ y $\sin Y = \frac{y}{z}$, y $x \neq y$. - $\sin X = \cos Y$ es verdadero porque ambos son $\frac{x}{z}$. - $\cos X = \cos Y$ es falso porque $\cos X = \frac{y}{z}$ y $\cos Y = \frac{x}{z}$. - $\cos X = \sin Y$ es verdadero porque ambos son $\frac{y}{z}$. - "Ninguno es verdadero" es falso. 5. **Parte 4: Relación entre coseno y seno para ángulos complementarios** Sabemos que $\cos(48^\circ) = \sin(42^\circ)$ porque $48^\circ + 42^\circ = 90^\circ$. Por lo tanto: $$\cos(48^\circ) = \sin(42^\circ)$$ **Respuesta final:** - Parte 1: $\angle X + \angle Y = 180^\circ$ - Parte 2: - $\sin_Y = \frac{y}{z}$ - $\sin_X = \frac{x}{z}$ - $\cos_X = \frac{y}{z}$ - $\cos_Y = \frac{x}{z}$ - Parte 3: Verdaderos: - $\sin X = \cos Y$ - $\cos X = \sin Y$ - Parte 4: $\cos(48^\circ) = \sin(42^\circ)$