1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un triángulo rectángulo con un cateto horizontal $x=4.0$ m y un ángulo $ heta=30^\circ$. Queremos encontrar la hipotenusa $r$ y el cateto vertical $y$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** En un triángulo rectángulo, las relaciones trigonométricas son: $$\sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{y}{r}$$ $$\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{x}{r}$$ 3. **Encontrar la hipotenusa $r$ usando el coseno:** $$\cos(30^\circ) = \frac{x}{r} \implies r = \frac{x}{\cos(30^\circ)}$$ 4. **Sustituimos valores y calculamos:** $$r = \frac{4.0}{\cos(30^\circ)}$$ Sabemos que $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. 5. **Simplificamos:** $$r = \frac{4.0}{0.866} \approx 4.62 \text{ m}$$ 6. **Encontrar el cateto vertical $y$ usando el seno:** $$\sin(30^\circ) = \frac{y}{r} \implies y = r \times \sin(30^\circ)$$ Sabemos que $\sin(30^\circ) = 0.5$. 7. **Sustituimos y calculamos:** $$y = 4.62 \times 0.5 = 2.31 \text{ m}$$ **Respuesta final:** La hipotenusa es $r \approx 4.62$ m y el cateto vertical es $y \approx 2.31$ m.