1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo rectángulo con lados $x=4.0$ m y $y=3.0$ m, y queremos encontrar: a) La longitud del lado $r$ (hipotenusa). b) Los valores de $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. c) Los valores de $\sin \phi$, $\cos \phi$ y $\tan \phi$. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Para un triángulo rectángulo, la hipotenusa $r$ se calcula con el teorema de Pitágoras: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ - Las funciones trigonométricas para el ángulo $\theta$ (en el vértice inferior derecho) son: $$\sin \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{y}{r}$$ $$\cos \theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{x}{r}$$ $$\tan \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{y}{x}$$ - Para el ángulo $\phi$ (en el vértice superior izquierdo), que es complementario a $\theta$ (porque suman 90°), se cumple: $$\phi = 90^\circ - \theta$$ Y las funciones trigonométricas se relacionan así: $$\sin \phi = \cos \theta$$ $$\cos \phi = \sin \theta$$ $$\tan \phi = \frac{1}{\tan \theta}$$ 3. Cálculo de la hipotenusa $r$: $$r = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.0$$ 4. Cálculo de $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$: $$\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{3.0}{5.0} = 0.6$$ $$\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{4.0}{5.0} = 0.8$$ $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{3.0}{4.0} = 0.75$$ 5. Cálculo de $\sin \phi$, $\cos \phi$ y $\tan \phi$: $$\sin \phi = \cos \theta = 0.8$$ $$\cos \phi = \sin \theta = 0.6$$ $$\tan \phi = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{0.75} = 1.3333$$ 6. Resumen final: - $r = 5.0$ m - $\sin \theta = 0.6$, $\cos \theta = 0.8$, $\tan \theta = 0.75$ - $\sin \phi = 0.8$, $\cos \phi = 0.6$, $\tan \phi = 1.3333$