1. Planteamiento del problema: Dado que $\csc \theta = \frac{4}{3}$ y $\sec \theta = \frac{5}{4}$, y las definiciones $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ y $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$, se pide: - Encontrar cinco pares de ángulos coterminales, positivos y negativos. - Determinar en qué cuadrantes se localizan ángulos según signos de funciones trigonométricas. 2. Encontrar $\sin \theta$ y $\cos \theta$: $$\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$ $$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$$ 3. Encontrar $\tan \theta$ usando $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$: $$\tan \theta = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$$ 4. Cinco pares de ángulos coterminales: Recordemos que ángulos coterminales difieren en múltiplos enteros de $360^\circ$ o $2\pi$ radianes. Sea $\theta_0$ un ángulo que satisface las condiciones, entonces los pares coterminales son: $$\theta_0 + 360^\circ k, \quad \theta_0 - 360^\circ k, \quad k=1,2,3,4,5$$ Por ejemplo, si $\theta_0 = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) \approx 48.59^\circ$: - Positivos: $48.59^\circ, 408.59^\circ, 768.59^\circ, 1128.59^\circ, 1488.59^\circ$ - Negativos: $-311.41^\circ, -671.41^\circ, -1031.41^\circ, -1391.41^\circ, -1751.41^\circ$ 5. Cuadrantes según signos de funciones trigonométricas: - a) Secante y tangente negativas: - $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ negativa implica $\cos \theta < 0$. - $\tan \theta$ negativa implica que $\sin \theta$ y $\cos \theta$ tienen signos opuestos. - Cuadrantes donde $\cos \theta < 0$ y $\tan \theta < 0$ son el II (seno +, coseno -) y el IV (seno -, coseno +). Pero en IV $\cos$ es positivo, descartado. - Por tanto, cuadrante II. - b) Cosecante positiva: - $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} > 0$ implica $\sin \theta > 0$. - Cuadrantes I y II. - c) Todas son negativas excepto seno y cosecante: - Esto significa $\cos \theta < 0$, $\tan \theta < 0$, $\cot \theta < 0$, $\sec \theta < 0$, y $\sin \theta > 0$, $\csc \theta > 0$. - Cuadrante II cumple estas condiciones. - ch) Seno y coseno del mismo signo: - Ambos positivos: cuadrante I. - Ambos negativos: cuadrante III. - d) Cotangente y secante con signos contrarios: - $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$. - Si $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ y $\cot \theta$ tienen signos contrarios, entonces $\cos \theta$ y $\cot \theta$ tienen signos opuestos. - Esto ocurre en cuadrantes II y IV. - e) Cosecante y secante con igual signo: - $\csc \theta$ y $\sec \theta$ positivos: cuadrante I. - Ambos negativos: cuadrante III. - f) Seno y tangente negativas: - $\sin \theta < 0$ y $\tan \theta < 0$. - $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ negativa implica $\sin$ y $\cos$ signos opuestos. - Si $\sin$ es negativa y $\tan$ negativa, $\cos$ debe ser positiva. - Cuadrante IV. - g) Cotangente positiva: - $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} > 0$ implica $\cos \theta$ y $\sin \theta$ tienen el mismo signo. - Cuadrantes I y III. Respuesta final: - Cinco pares de ángulos coterminales: $\theta_0 \pm 360^\circ k$, $k=1,2,3,4,5$. - a) Cuadrante II. - b) Cuadrantes I y II. - c) Cuadrante II. - ch) Cuadrantes I y III. - d) Cuadrantes II y IV. - e) Cuadrantes I y III. - f) Cuadrante IV. - g) Cuadrantes I y III.