1. Resolver $\sin 2x = \cos 60^\circ$. Sabemos que $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Entonces, $\sin 2x = \frac{1}{2}$. La solución general para $\sin \theta = \frac{1}{2}$ es $\theta = 30^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 150^\circ + 360^\circ k$, con $k \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $2x = 30^\circ + 360^\circ k$ o $2x = 150^\circ + 360^\circ k$. Dividiendo ambos lados entre 2: $$x = \frac{30^\circ + 360^\circ k}{2} = 15^\circ + 180^\circ k$$ $$x = \frac{150^\circ + 360^\circ k}{2} = 75^\circ + 180^\circ k$$ 2. Resolver $\tan 2x = -\tan x$. Usamos la identidad $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$. Entonces: $$\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} = -\tan x$$ Multiplicamos ambos lados por $1 - \tan^2 x$: $$2 \tan x = -\tan x (1 - \tan^2 x)$$ Expandimos el lado derecho: $$2 \tan x = -\tan x + \tan^3 x$$ Pasamos todos los términos a un lado: $$2 \tan x + \tan x - \tan^3 x = 0$$ $$3 \tan x - \tan^3 x = 0$$ Factorizamos: $$\tan x (3 - \tan^2 x) = 0$$ Entonces, $\tan x = 0$ o $3 - \tan^2 x = 0$. Para $\tan x = 0$, $x = k\pi$. Para $3 - \tan^2 x = 0$, $\tan^2 x = 3$, entonces $\tan x = \pm \sqrt{3}$. Por lo tanto, $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ o $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$. 3. Resolver $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$. Usamos la identidad $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$. Entonces: $$-\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$$ La solución general para $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ es $\theta = 120^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 240^\circ + 360^\circ k$. Por lo tanto: $$2x = 120^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad 2x = 240^\circ + 360^\circ k$$ Dividiendo entre 2: $$x = 60^\circ + 180^\circ k \quad \text{o} \quad x = 120^\circ + 180^\circ k$$ 4. Resolver $\sin x = \sin (45^\circ - x)$. Usamos la identidad de igualdad de senos: $\sin A = \sin B$ implica $A = B + 360^\circ k$ o $A = 180^\circ - B + 360^\circ k$. Entonces: $$x = 45^\circ - x + 360^\circ k \Rightarrow 2x = 45^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 22.5^\circ + 180^\circ k$$ O $$x = 180^\circ - (45^\circ - x) + 360^\circ k \Rightarrow x = 180^\circ - 45^\circ + x + 360^\circ k \Rightarrow 0 = 135^\circ + 360^\circ k$$ Esto no tiene solución para $x$. Por lo tanto, la solución es: $$x = 22.5^\circ + 180^\circ k$$ 5. Resolver $\sin (x + 45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Sabemos que $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para $\theta = 60^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 120^\circ + 360^\circ k$. Entonces: $$x + 45^\circ = 60^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 15^\circ + 360^\circ k$$ $$x + 45^\circ = 120^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 75^\circ + 360^\circ k$$ 6. Resolver $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2$. El máximo valor de $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ es $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Esto ocurre cuando $\sin x = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ y $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$, pero $\cos x$ no puede ser mayor que 1. Por lo tanto, la única forma es que $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2$ sea el máximo, que ocurre cuando: $$\sin x = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$$ Pero $\sin x$ no puede ser 1 y $\cos x$ ser $\sqrt{3}$ al mismo tiempo. Por lo tanto, la solución es cuando: $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 = 2 \cdot 1$$ Esto implica que $x$ satisface: $$\sin x = 2 \sin \alpha \cos x = 2 \cos \alpha$$ Donde $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ y $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, es decir, $\alpha = 30^\circ$. Entonces: $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \Rightarrow 2 \sin (x + 30^\circ) = 2 \Rightarrow \sin (x + 30^\circ) = 1$$ La solución general es: $$x + 30^\circ = 90^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 60^\circ + 360^\circ k$$ 7. Resolver $\tan x \cdot \sec x = \sqrt{2}$. Sabemos que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ y $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Entonces: $$\tan x \cdot \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sqrt{2}$$ Multiplicamos ambos lados por $\cos^2 x$: $$\sin x = \sqrt{2} \cos^2 x$$ Usamos $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$\sin x = \sqrt{2} (1 - \sin^2 x)$$ Reordenamos: $$\sin x = \sqrt{2} - \sqrt{2} \sin^2 x$$ Pasamos todo a un lado: $$\sqrt{2} \sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0$$ Sea $s = \sin x$, la ecuación cuadrática es: $$\sqrt{2} s^2 + s - \sqrt{2} = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$s = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2}^2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$$ Soluciones: $$s_1 = \frac{-1 + 3}{2 \sqrt{2}} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$s_2 = \frac{-1 - 3}{2 \sqrt{2}} = \frac{-4}{2 \sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$ (no válida porque $\sin x$ está entre -1 y 1) Por lo tanto, $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. La solución general es: $$x = 45^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 135^\circ + 360^\circ k$$ 8. Resolver $\frac{\sin^2 x}{2} = \frac{\tan x}{4}$. Multiplicamos ambos lados por 4: $$2 \sin^2 x = \tan x$$ Recordamos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Entonces: $$2 \sin^2 x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ Multiplicamos ambos lados por $\cos x$: $$2 \sin^2 x \cos x = \sin x$$ Si $\sin x = 0$, entonces $x = k\pi$. Si $\sin x \neq 0$, dividimos ambos lados entre $\sin x$: $$2 \sin x \cos x = 1$$ Usamos la identidad $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$\sin 2x = 1$$ La solución general para $\sin \theta = 1$ es $\theta = 90^\circ + 360^\circ k$. Entonces: $$2x = 90^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 45^\circ + 180^\circ k$$ Por lo tanto, las soluciones son: $$x = k\pi \quad \text{o} \quad x = 45^\circ + 180^\circ k$$ 9. Resolver $4 \tan x = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}$. Multiplicamos ambos lados por $\cos^2 x$: $$4 \tan x \cos^2 x = \sqrt{3}$$ Recordamos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $$4 \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = 4 \sin x \cos x = \sqrt{3}$$ Usamos la identidad $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$4 \sin x \cos x = 2 \cdot 2 \sin x \cos x = 2 \sin 2x$$ Entonces: $$2 \sin 2x = \sqrt{3} \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ La solución general para $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ es $\theta = 60^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 120^\circ + 360^\circ k$. Por lo tanto: $$2x = 60^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad 2x = 120^\circ + 360^\circ k$$ Dividiendo entre 2: $$x = 30^\circ + 180^\circ k \quad \text{o} \quad x = 60^\circ + 180^\circ k$$ 10. Resolver $\tan (x - 45^\circ) + \tan (x + 45^\circ) = 2 \cot x$. Usamos la identidad de suma de tangentes: $$\tan A + \tan B = \frac{\sin (A + B)}{\cos A \cos B}$$ Entonces: $$\tan (x - 45^\circ) + \tan (x + 45^\circ) = \frac{\sin (2x)}{\cos (x - 45^\circ) \cos (x + 45^\circ)}$$ Sabemos que $\cos (x - 45^\circ) \cos (x + 45^\circ) = \frac{\cos 2x + \cos 90^\circ}{2} = \frac{\cos 2x}{2}$ porque $\cos 90^\circ = 0$. Entonces: $$\tan (x - 45^\circ) + \tan (x + 45^\circ) = \frac{\sin 2x}{\frac{\cos 2x}{2}} = \frac{2 \sin 2x}{\cos 2x} = 2 \tan 2x$$ La ecuación queda: $$2 \tan 2x = 2 \cot x$$ Dividimos ambos lados entre 2: $$\tan 2x = \cot x = \frac{1}{\tan x}$$ Multiplicamos ambos lados por $\tan x$: $$\tan 2x \tan x = 1$$ Usamos la identidad $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$: $$\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \tan x = 1$$ Simplificamos: $$\frac{2 \tan^2 x}{1 - \tan^2 x} = 1$$ Multiplicamos ambos lados por $1 - \tan^2 x$: $$2 \tan^2 x = 1 - \tan^2 x$$ Pasamos todo a un lado: $$2 \tan^2 x + \tan^2 x - 1 = 0$$ $$3 \tan^2 x - 1 = 0$$ $$\tan^2 x = \frac{1}{3}$$ $$\tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Por lo tanto: $$x = k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{o} \quad x = k\pi + \frac{5\pi}{6}$$ 11. Resolver $\cos x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 x = 0$. Usamos la identidad $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$: $$\cos x (2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 0$$ Expandimos: $$2 \cos^3 x - \cos x + 2 \cos^2 x = 0$$ Agrupamos términos: $$2 \cos^3 x + 2 \cos^2 x - \cos x = 0$$ Factorizamos $\cos x$: $$\cos x (2 \cos^2 x + 2 \cos x - 1) = 0$$ Entonces, $\cos x = 0$ o $2 \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0$. Para $\cos x = 0$, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Para la cuadrática, sea $c = \cos x$: $$2 c^2 + 2 c - 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$$ Soluciones: $$c_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx 0.366$$ $$c_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366$$ (no válida porque $\cos x$ está entre -1 y 1) Por lo tanto, $\cos x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$. La solución general es: $$x = \pm \arccos \left( \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k$$ 12. Resolver $\cos 2x + \sin x = 4 \sin^2 x$. Usamos $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$: $$1 - 2 \sin^2 x + \sin x = 4 \sin^2 x$$ Pasamos todo a un lado: $$1 + \sin x - 2 \sin^2 x - 4 \sin^2 x = 0$$ $$1 + \sin x - 6 \sin^2 x = 0$$ Sea $s = \sin x$: $$-6 s^2 + s + 1 = 0$$ Multiplicamos por -1 para facilitar: $$6 s^2 - s - 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$s = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12}$$ Soluciones: $$s_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$s_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$ Por lo tanto, $\sin x = \frac{1}{2}$ o $\sin x = -\frac{1}{3}$. Soluciones para $\sin x = \frac{1}{2}$: $$x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 150^\circ + 360^\circ k$$ Para $\sin x = -\frac{1}{3}$, se usa inversa de seno: $$x = \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 180^\circ - \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 360^\circ k$$ 13. Resolver $2 \tan x - 3 \cot x - 1 = 0$. Recordamos que $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Entonces: $$2 \tan x - \frac{3}{\tan x} - 1 = 0$$ Multiplicamos por $\tan x$: $$2 \tan^2 x - 3 - \tan x = 0$$ Reordenamos: $$2 \tan^2 x - \tan x - 3 = 0$$ Sea $t = \tan x$: $$2 t^2 - t - 3 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ Soluciones: $$t_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ $$t_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Por lo tanto, $\tan x = 1.5$ o $\tan x = -1$. Soluciones para $\tan x = 1.5$: $$x = \arctan(1.5) + k\pi$$ Para $\tan x = -1$: $$x = -45^\circ + k\pi$$ 14. Resolver $\sin 2x \cdot \cos x = 6 \sin^3 x$. Usamos $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$2 \sin x \cos x \cdot \cos x = 6 \sin^3 x$$ Simplificamos: $$2 \sin x \cos^2 x = 6 \sin^3 x$$ Dividimos ambos lados entre $\sin x$ (considerando $\sin x \neq 0$): $$2 \cos^2 x = 6 \sin^2 x$$ Usamos $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2 \cos^2 x = 6 (1 - \cos^2 x)$$ Expandimos: $$2 \cos^2 x = 6 - 6 \cos^2 x$$ Pasamos todo a un lado: $$2 \cos^2 x + 6 \cos^2 x - 6 = 0$$ $$8 \cos^2 x - 6 = 0$$ $$8 \cos^2 x = 6$$ $$\cos^2 x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ $$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Soluciones para $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 330^\circ + 360^\circ k$$ Para $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$x = 150^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 210^\circ + 360^\circ k$$ Si $\sin x = 0$, entonces $x = k\pi$. 15. Verificar $\cos x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$. Sabemos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Entonces: $$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \sin x \cos x$$ Pero $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, no $\cos x$. Por lo tanto, la igualdad no es correcta en general. 16. Resolver $3 \cos x = 2 \sec x - 5$. Recordamos que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Entonces: $$3 \cos x = \frac{2}{\cos x} - 5$$ Multiplicamos ambos lados por $\cos x$: $$3 \cos^2 x = 2 - 5 \cos x$$ Pasamos todo a un lado: $$3 \cos^2 x + 5 \cos x - 2 = 0$$ Sea $c = \cos x$: $$3 c^2 + 5 c - 2 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$c = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{-5 \pm 7}{6}$$ Soluciones: $$c_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$c_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ (no válida porque $\cos x$ está entre -1 y 1) Por lo tanto, $\cos x = \frac{1}{3}$. La solución general es: $$x = \pm \arccos \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi k$$ 17. Resolver $\frac{\sin (x + 30^\circ)}{\cos (x + 60^\circ)} = 1$. Multiplicamos ambos lados por $\cos (x + 60^\circ)$: $$\sin (x + 30^\circ) = \cos (x + 60^\circ)$$ Sabemos que $\sin \alpha = \cos \beta$ implica $\alpha = \beta + 360^\circ k$ o $\alpha = 90^\circ - \beta + 360^\circ k$. Entonces: $$x + 30^\circ = x + 60^\circ + 360^\circ k \Rightarrow 30^\circ = 60^\circ + 360^\circ k$$ (no válida) O $$x + 30^\circ = 90^\circ - (x + 60^\circ) + 360^\circ k \Rightarrow x + 30^\circ = 90^\circ - x - 60^\circ + 360^\circ k$$ Simplificamos: $$x + 30^\circ = 30^\circ - x + 360^\circ k$$ $$2x = 360^\circ k$$ $$x = 180^\circ k$$ 18. Resolver $4 \sin \frac{x}{2} + 2 \cos x = 3$. Usamos la identidad $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$: $$4 \sin \frac{x}{2} + 2 (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}) = 3$$ Expandimos: $$4 \sin \frac{x}{2} + 2 - 4 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$ Pasamos todo a un lado: $$-4 \sin^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} + 2 - 3 = 0$$ $$-4 \sin^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} - 1 = 0$$ Multiplicamos por -1: $$4 \sin^2 \frac{x}{2} - 4 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$$ Sea $s = \sin \frac{x}{2}$: $$4 s^2 - 4 s + 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$s = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Solución única: $$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$$ Entonces: $$\frac{x}{2} = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad \frac{x}{2} = 150^\circ + 360^\circ k$$ Multiplicando por 2: $$x = 60^\circ + 720^\circ k \quad \text{o} \quad x = 300^\circ + 720^\circ k$$ 19. Resolver $4 \sin (x - 30^\circ) \cos (x - 30^\circ) = \sqrt{3}$. Usamos la identidad $2 \sin A \cos A = \sin 2A$: $$4 \sin (x - 30^\circ) \cos (x - 30^\circ) = 2 \cdot 2 \sin (x - 30^\circ) \cos (x - 30^\circ) = 2 \sin 2(x - 30^\circ)$$ Entonces: $$2 \sin 2(x - 30^\circ) = \sqrt{3} \Rightarrow \sin 2(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ La solución general para $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ es $\theta = 60^\circ + 360^\circ k$ o $\theta = 120^\circ + 360^\circ k$. Por lo tanto: $$2(x - 30^\circ) = 60^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad 2(x - 30^\circ) = 120^\circ + 360^\circ k$$ Dividiendo entre 2: $$x - 30^\circ = 30^\circ + 180^\circ k \quad \text{o} \quad x - 30^\circ = 60^\circ + 180^\circ k$$ Sumando 30°: $$x = 60^\circ + 180^\circ k \quad \text{o} \quad x = 90^\circ + 180^\circ k$$ 20. Resolver $\tan \frac{x}{2} = \frac{\tan x - 2}{\tan x + 2}$. Usamos la fórmula de la tangente de la diferencia: $$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$ Si tomamos $A = x$ y $B = 45^\circ$ (porque $\tan 45^\circ = 1$), la fórmula es: $$\tan (x - 45^\circ) = \frac{\tan x - 1}{1 + \tan x}$$ Pero la expresión dada es diferente, sin embargo, podemos verificar que: $$\frac{\tan x - 2}{\tan x + 2} = \tan \left( \frac{x}{2} \right)$$ Esto sugiere que la ecuación es verdadera para ciertos valores de $x$. Para resolverla, podemos usar la sustitución $t = \tan \frac{x}{2}$ y la fórmula de la tangente doble: $$\tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$$ Sustituimos en la ecuación: $$t = \frac{\frac{2t}{1 - t^2} - 2}{\frac{2t}{1 - t^2} + 2}$$ Multiplicamos numerador y denominador por $1 - t^2$: $$t = \frac{2t - 2(1 - t^2)}{2t + 2(1 - t^2)} = \frac{2t - 2 + 2 t^2}{2t + 2 - 2 t^2}$$ Simplificamos: $$t = \frac{2 t^2 + 2 t - 2}{-2 t^2 + 2 t + 2}$$ Multiplicamos ambos lados por el denominador: $$t (-2 t^2 + 2 t + 2) = 2 t^2 + 2 t - 2$$ Expandimos: $$-2 t^3 + 2 t^2 + 2 t = 2 t^2 + 2 t - 2$$ Pasamos todo a un lado: $$-2 t^3 + 2 t^2 + 2 t - 2 t^2 - 2 t + 2 = 0$$ Simplificamos: $$-2 t^3 + 2 = 0$$ $$-2 t^3 = -2$$ $$t^3 = 1$$ $$t = 1$$ Entonces: $$\tan \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 45^\circ + 180^\circ k \Rightarrow x = 90^\circ + 360^\circ k$$ 21. Resolver $3 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$. Sea $s = \sin x$: $$3 s^2 - 5 s + 2 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$s = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}$$ Soluciones: $$s_1 = \frac{6}{6} = 1$$ $$s_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Para $s_1 = 1$: $$x = 90^\circ + 360^\circ k$$ Para $s_2 = \frac{2}{3}$: $$x = \arcsin \frac{2}{3} + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 180^\circ - \arcsin \frac{2}{3} + 360^\circ k$$ 22. Resolver $\cos 2x = 5 - 6 \cos^2 x$. Usamos $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$: $$2 \cos^2 x - 1 = 5 - 6 \cos^2 x$$ Pasamos todo a un lado: $$2 \cos^2 x - 1 - 5 + 6 \cos^2 x = 0$$ $$8 \cos^2 x - 6 = 0$$ $$8 \cos^2 x = 6$$ $$\cos^2 x = \frac{3}{4}$$ $$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Soluciones para $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 330^\circ + 360^\circ k$$ Para $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$x = 150^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 210^\circ + 360^\circ k$$ 23. Resolver $\cos 2x + 5 \cos x + 3 = 0$. Usamos $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$: $$2 \cos^2 x - 1 + 5 \cos x + 3 = 0$$ Simplificamos: $$2 \cos^2 x + 5 \cos x + 2 = 0$$ Sea $c = \cos x$: $$2 c^2 + 5 c + 2 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$c = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$$ Soluciones: $$c_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$c_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$$ (no válida) Por lo tanto, $\cos x = -\frac{1}{2}$. Soluciones: $$x = 120^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 240^\circ + 360^\circ k$$ 24. Resolver $\frac{\cos x}{\tan x} = \frac{3}{2}$. Recordamos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Entonces: $$\frac{\cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{3}{2}$$ Multiplicamos ambos lados por $\sin x$: $$\cos^2 x = \frac{3}{2} \sin x$$ Usamos $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$1 - \sin^2 x = \frac{3}{2} \sin x$$ Pasamos todo a un lado: $$- \sin^2 x - \frac{3}{2} \sin x + 1 = 0$$ Multiplicamos por -1: $$\sin^2 x + \frac{3}{2} \sin x - 1 = 0$$ Sea $s = \sin x$: $$s^2 + \frac{3}{2} s - 1 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$s = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4}}{2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}}{2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}}{2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}}{2}$$ Soluciones: $$s_1 = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2} = \frac{1}{2}$$ $$s_2 = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{5}{2}}{2} = -2$$ (no válida) Por lo tanto, $\sin x = \frac{1}{2}$. Soluciones: $$x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 150^\circ + 360^\circ k$$ 25. Resolver $\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin 4x$. Usamos la suma de senos: $$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ Entonces: $$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin 4x \cos 2x$$ La ecuación queda: $$2 \sin 4x \cos 2x = 2 \sin 4x$$ Dividimos ambos lados entre 2: $$\sin 4x \cos 2x = \sin 4x$$ Si $\sin 4x = 0$, entonces: $$4x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{4}$$ Si $\sin 4x \neq 0$, dividimos ambos lados entre $\sin 4x$: $$\cos 2x = 1$$ La solución para $\cos \theta = 1$ es $\theta = 2k\pi$. Entonces: $$2x = 2k\pi \Rightarrow x = k\pi$$ Por lo tanto, las soluciones son: $$x = \frac{k\pi}{4} \quad \text{o} \quad x = k\pi$$ 26. Resolver $\cos 2x + \cos x = \sin x + \sin 2x$. Usamos las identidades de suma de cosenos y senos: $$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ $$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ Entonces: $$\cos 2x + \cos x = 2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}$$ $$\sin x + \sin 2x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}$$ La ecuación queda: $$2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}$$ Dividimos ambos lados entre $2 \cos \frac{x}{2}$ (considerando que no es cero): $$\cos \frac{3x}{2} = \sin \frac{3x}{2}$$ Esto implica: $$\tan \frac{3x}{2} = 1$$ La solución general es: $$\frac{3x}{2} = 45^\circ + 180^\circ k \Rightarrow x = 30^\circ + 120^\circ k$$ Si $\cos \frac{x}{2} = 0$: $$\frac{x}{2} = 90^\circ + 180^\circ k \Rightarrow x = 180^\circ + 360^\circ k$$ 27. Resolver $\cos 2x - \cos 6x = \sin 5x + \sin 3x$. Usamos las identidades: $$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$$ $$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ Entonces: $$\cos 2x - \cos 6x = -2 \sin 4x \sin (-2x) = 2 \sin 4x \sin 2x$$ $$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin 4x \cos x$$ La ecuación queda: $$2 \sin 4x \sin 2x = 2 \sin 4x \cos x$$ Dividimos ambos lados entre $2 \sin 4x$ (considerando que no es cero): $$\sin 2x = \cos x$$ Usamos $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$2 \sin x \cos x = \cos x$$ Si $\cos x = 0$: $$x = 90^\circ + 180^\circ k$$ Si $\cos x \neq 0$, dividimos entre $\cos x$: $$2 \sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$$ Soluciones: $$x = 30^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad x = 150^\circ + 360^\circ k$$ 28. Resolver $\cos 8x + \cos 6x = 2 \cos 210^\circ \cdot \cos x$. Usamos la identidad: $$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ Entonces: $$\cos 8x + \cos 6x = 2 \cos 7x \cos x$$ La ecuación queda: $$2 \cos 7x \cos x = 2 \cos 210^\circ \cos x$$ Dividimos ambos lados entre $2 \cos x$ (considerando que no es cero): $$\cos 7x = \cos 210^\circ$$ La solución general para $\cos A = \cos B$ es: $$A = B + 360^\circ k \quad \text{o} \quad A = -B + 360^\circ k$$ Entonces: $$7x = 210^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad 7x = -210^\circ + 360^\circ k$$ Dividiendo entre 7: $$x = 30^\circ + \frac{360^\circ}{7} k \quad \text{o} \quad x = -30^\circ + \frac{360^\circ}{7} k$$ 29. Igual que el 19, la solución es: $$x = 60^\circ + 180^\circ k \quad \text{o} \quad x = 90^\circ + 180^\circ k$$ 30. Resolver $\cos 4x + \cos 2x = \sin 4x - \sin 2x$. Usamos las identidades: $$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$ $$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$$ Entonces: $$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos 3x \cos x$$ $$\sin 4x - \sin 2x = 2 \cos 3x \sin x$$ La ecuación queda: $$2 \cos 3x \cos x = 2 \cos 3x \sin x$$ Dividimos ambos lados entre $2 \cos 3x$ (considerando que no es cero): $$\cos x = \sin x$$ Esto implica: $$\tan x = 1$$ La solución general es: $$x = 45^\circ + 180^\circ k$$