1. El problema pide determinar los valores admisibles de la variable para cada expresión trigonométrica dada. 2. Para encontrar los valores admisibles, debemos identificar los valores de la variable que hacen que el denominador sea cero o que la expresión no esté definida. 3. a) Para $\frac{1}{\cos x}$, el denominador no puede ser cero, entonces: $$\cos x \neq 0$$ Los valores de $x$ donde $\cos x = 0$ son $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, los valores admisibles son: $$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 4. b) Para $\frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$, el producto en el denominador no puede ser cero: $$\sin \alpha \cdot \cos \alpha \neq 0$$ Esto implica: $$\sin \alpha \neq 0 \quad \text{y} \quad \cos \alpha \neq 0$$ Los valores donde $\sin \alpha = 0$ son $\alpha = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Los valores donde $\cos \alpha = 0$ son $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, los valores admisibles son: $$\alpha \neq k\pi, \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 5. c) Para $\frac{\cot x}{\cos x + 1}$, el denominador no puede ser cero y $\cot x$ debe estar definido. Primero, $\cos x + 1 \neq 0$ implica: $$\cos x \neq -1$$ Los valores donde $\cos x = -1$ son $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Segundo, $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, entonces $\sin x \neq 0$. Los valores donde $\sin x = 0$ son $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, los valores admisibles son: $$x \neq k\pi, \quad x \neq \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 6. d) Para $\tan \theta \cdot \cos \theta$, no hay denominador, pero $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, entonces $\cos \theta \neq 0$ para que $\tan \theta$ esté definido. Por lo tanto: $$\cos \theta \neq 0 \Rightarrow \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 7. e) Para $\frac{\sin \theta}{\tan \theta - 1}$, el denominador no puede ser cero: $$\tan \theta - 1 \neq 0 \Rightarrow \tan \theta \neq 1$$ Los valores donde $\tan \theta = 1$ son: $$\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Además, $\tan \theta$ está definido si $\cos \theta \neq 0$: $$\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Por lo tanto, los valores admisibles son: $$\theta \neq \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 8. f) Para $\tan \theta - \cot \theta$, no hay denominador explícito, pero ambas funciones deben estar definidas. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ requiere $\cos \theta \neq 0$. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ requiere $\sin \theta \neq 0$. Por lo tanto: $$\sin \theta \neq 0, \quad \cos \theta \neq 0 \Rightarrow \theta \neq k\pi, \quad \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$