1. Planteamos el problema: Un avión vuela a una altitud constante de 2000 m y pasa sobre un observador. Cinco minutos después, se aleja horizontalmente a 240 m/s. Se pide determinar la rapidez con la que cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal es 3000 m. 2. Definimos variables: Sea $x$ la distancia horizontal entre el avión y el observador (en metros), y $\theta$ el ángulo de elevación. 3. Relación trigonométrica: Por el triángulo rectángulo formado, $$\tan(\theta) = \frac{2000}{x}$$ 4. Derivamos respecto al tiempo $t$: $$\sec^2(\theta) \frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{x^2} \frac{dx}{dt}$$ 5. Despejamos $\frac{d\theta}{dt}$: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{x^2} \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{\sec^2(\theta)} = -\frac{2000}{x^2} \frac{dx}{dt} \cos^2(\theta)$$ 6. Calculamos $\cos^2(\theta)$ usando $\tan(\theta) = \frac{2000}{x}$: $$\cos^2(\theta) = \frac{1}{1+\tan^2(\theta)} = \frac{1}{1+\left(\frac{2000}{x}\right)^2} = \frac{1}{1+\frac{4,000,000}{x^2}} = \frac{x^2}{x^2 + 4,000,000}$$ 7. Sustituimos valores: $x=3000$ m, $\frac{dx}{dt} = 240$ m/s. $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{(3000)^2} \times 240 \times \frac{(3000)^2}{(3000)^2 + 4,000,000}$$ 8. Simplificamos: $$\frac{d\theta}{dt} = -2000 \times 240 \times \frac{1}{(3000)^2 + 4,000,000} = -480,000 \times \frac{1}{9,000,000 + 4,000,000} = -480,000 \times \frac{1}{13,000,000}$$ 9. Resultado: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{480,000}{13,000,000} = -0.03692 \text{ rad/s}$$ El signo negativo indica que el ángulo de elevación está disminuyendo. Respuesta final: La rapidez con la que cambia el ángulo de elevación es aproximadamente $0.037$ rad/s en valor absoluto.