1. Planteamos el problema: Un avión vuela a una altitud constante de 2000 m y pasa sobre un observador. Cinco minutos después, se aleja horizontalmente a 240 m/s. Se pide determinar la rapidez con la que cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal es 3000 m. 2. Definimos variables: Sea $x(t)$ la distancia horizontal del avión al observador en metros, y $\theta(t)$ el ángulo de elevación en radianes. 3. Relación trigonométrica: El avión, el observador y la altura forman un triángulo rectángulo con altura fija 2000 m y base $x$. Entonces, $$\tan(\theta) = \frac{2000}{x}$$ 4. Derivamos respecto al tiempo $t$ para encontrar $\frac{d\theta}{dt}$: $$\sec^2(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$$ 5. Despejamos $\frac{d\theta}{dt}$: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{\sec^2(\theta)}$$ 6. Calculamos $\sec^2(\theta)$ usando $\tan(\theta)$: $$\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) = 1 + \left(\frac{2000}{x}\right)^2 = 1 + \frac{4,000,000}{x^2} = \frac{x^2 + 4,000,000}{x^2}$$ 7. Sustituimos en la expresión de $\frac{d\theta}{dt}$: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt} \cdot \frac{x^2}{x^2 + 4,000,000} = -\frac{2000 \cdot \frac{dx}{dt}}{x^2 + 4,000,000}$$ 8. Datos: $x = 3000$ m, $\frac{dx}{dt} = 240$ m/s (positivo porque se aleja). 9. Calculamos el denominador: $$x^2 + 4,000,000 = 3000^2 + 4,000,000 = 9,000,000 + 4,000,000 = 13,000,000$$ 10. Finalmente: $$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{2000 \times 240}{13,000,000} = -\frac{480,000}{13,000,000} = -0.03692 \text{ rad/s}$$ 11. El signo negativo indica que el ángulo de elevación está disminuyendo. **Respuesta:** La rapidez con la que cambia el ángulo de elevación es aproximadamente $0.0369$ radianes por segundo, disminuyendo.