1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación trigonométrica $$\tan 2x - 2\cos x + 2 = 2$$. 2. Simplificamos la ecuación restando 2 en ambos lados: $$\tan 2x - 2\cos x + 2 - 2 = 2 - 2$$ $$\tan 2x - 2\cos x = 0$$ 3. Despejamos: $$\tan 2x = 2\cos x$$ 4. Usamos la identidad $$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$$: $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2\cos x$$ 5. Multiplicamos ambos lados por $$\cos 2x$$: $$\sin 2x = 2\cos x \cos 2x$$ 6. Usamos la identidad $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$: $$2\sin x \cos x = 2\cos x \cos 2x$$ 7. Dividimos ambos lados por $$2\cos x$$ (considerando $$\cos x \neq 0$$): $$\cancel{2}\sin x \cancel{\cos x} / \cancel{2} \cancel{\cos x} = \cancel{2} \cancel{\cos x} \cos 2x / \cancel{2} \cancel{\cos x}$$ $$\sin x = \cos 2x$$ 8. Recordamos que $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$, entonces: $$\sin x = 1 - 2\sin^2 x$$ 9. Reordenamos para formar una ecuación cuadrática en $$\sin x$$: $$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$ 10. Sea $$y = \sin x$$, la ecuación es: $$2y^2 + y - 1 = 0$$ 11. Resolvemos con la fórmula cuadrática: $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ 12. Soluciones para $$y$$: - $$y = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - $$y = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ 13. Por lo tanto: - $$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ o $$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$ - $$\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$ 14. Verificamos que $$\cos x \neq 0$$ para la división en el paso 7: - Para $$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$$, $$\cos x \neq 0$$. - Para $$x = \frac{3\pi}{2}$$, $$\cos x = 0$$, por lo que esta solución no es válida. 15. Solución final: $$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$