1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación trigonométrica $$2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$$ en el intervalo $$[0, 2\pi]$$ y encontrar la suma de las soluciones. 2. Usamos la fórmula cuadrática para resolver la ecuación en términos de $$y = \cos(x)$$: $$2y^2 - y - 1 = 0$$ 3. Aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ con $$a=2$$, $$b=-1$$, $$c=-1$$. 4. Calculamos el discriminante: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ 5. Calculamos las raíces: $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$$ 6. Obtenemos dos soluciones para $$y$$: - $$y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$ - $$y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ 7. Ahora, recordamos que $$y = \cos(x)$$, por lo que: - Para $$\cos(x) = 1$$, la solución en $$[0, 2\pi]$$ es $$x = 0$$. - Para $$\cos(x) = -\frac{1}{2}$$, las soluciones en $$[0, 2\pi]$$ son $$x = \frac{2\pi}{3}$$ y $$x = \frac{4\pi}{3}$$. 8. Por lo tanto, el conjunto de soluciones $$A_p(x) = \left\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$$. 9. Calculamos la suma de los elementos de $$A_p(x)$$: $$0 + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$$. Respuesta final: La suma de las soluciones es $$2\pi$$.