1. **Stating the problem:** Risolviamo l'equazione $$5\sin(2x) - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$$. 2. **Analisi e formule importanti:** Ricordiamo alcune formule fondamentali di trigonometria: - Formula dell'angolo doppio: $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$ - Identità pitagorica: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ 3. **Riscriviamo l'equazione usando le formule:** - Sostituiamo $$\sin(2x)$$ con $$2\sin x \cos x$$ nel primo termine: $$5\sin(2x) - 2 = 5 \cdot 2\sin x \cos x - 2 = 10\sin x \cos x - 2$$ - A sinistra abbiamo quindi $$10\sin x \cos x - 2$$. - A destra l'equazione è: $$3\sin x \cos x - \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$$ 4. **Semplifichiamo il lato destro:** Usiamo l'identità pitagorica: $$2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \cdot 1 = 2$$ Quindi il lato destro diventa: $$3\sin x \cos x - \cos^2 x = 2$$ 5. **Riscriviamo l'equazione completa:** $$10\sin x \cos x - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 2$$ Ma notiamo che c'è un errore di interpretazione: l'utente ha scritto un'espressione con due segni di uguale, probabilmente intendeva un'equazione del tipo: $$5\sin(2x) - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$$ Per chiarezza, consideriamo solo la prima uguaglianza: $$5\sin(2x) - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x$$ 6. **Sostituiamo $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$:** $$5 \cdot 2\sin x \cos x - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x$$ $$10\sin x \cos x - 2 = 3\sin x \cos x - \cos^2 x$$ 7. **Portiamo tutti i termini a sinistra:** $$10\sin x \cos x - 2 - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$$ 8. **Raggruppiamo i termini simili:** $$ (10\sin x \cos x - 3\sin x \cos x) + \cos^2 x - 2 = 0$$ $$7\sin x \cos x + \cos^2 x - 2 = 0$$ 9. **Fattorizziamo dove possibile:** Non è immediato fattorizzare, quindi proviamo a esprimere tutto in termini di $$\cos x$$ o $$\sin x$$. Usiamo l'identità $$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$$, ma attenzione al segno. 10. **Sostituiamo $$\sin x = s$$ e $$\cos x = c$$:** $$7 s c + c^2 - 2 = 0$$ 11. **Isoliamo $$s$$:** $$7 s c = 2 - c^2$$ $$s = \frac{2 - c^2}{7 c}$$ 12. **Usiamo l'identità $$s^2 + c^2 = 1$$:** $$\left(\frac{2 - c^2}{7 c}\right)^2 + c^2 = 1$$ 13. **Svolgiamo:** $$\frac{(2 - c^2)^2}{49 c^2} + c^2 = 1$$ 14. **Moltiplichiamo entrambi i membri per $$49 c^2$$ per eliminare il denominatore:** $$ (2 - c^2)^2 + 49 c^4 = 49 c^2$$ 15. **Espandiamo $$ (2 - c^2)^2 = 4 - 4 c^2 + c^4 $$:** $$4 - 4 c^2 + c^4 + 49 c^4 = 49 c^2$$ 16. **Sommiamo i termini simili:** $$4 - 4 c^2 + 50 c^4 = 49 c^2$$ 17. **Portiamo tutto a sinistra:** $$50 c^4 - 4 c^2 - 49 c^2 + 4 = 0$$ $$50 c^4 - 53 c^2 + 4 = 0$$ 18. **Poniamo $$y = c^2$$, otteniamo un'equazione quadratica:** $$50 y^2 - 53 y + 4 = 0$$ 19. **Risolviamo con la formula quadratica:** $$y = \frac{53 \pm \sqrt{53^2 - 4 \cdot 50 \cdot 4}}{2 \cdot 50}$$ Calcoliamo il discriminante: $$53^2 = 2809$$ $$4 \cdot 50 \cdot 4 = 800$$ $$\Delta = 2809 - 800 = 2009$$ 20. **Calcoliamo la radice quadrata di 2009:** $$\sqrt{2009} \approx 44.82$$ 21. **Calcoliamo le due soluzioni:** $$y_1 = \frac{53 + 44.82}{100} = \frac{97.82}{100} = 0.9782$$ $$y_2 = \frac{53 - 44.82}{100} = \frac{8.18}{100} = 0.0818$$ 22. **Ricordiamo che $$y = c^2 = \cos^2 x$$, quindi:** $$\cos^2 x = 0.9782 \quad \text{o} \quad \cos^2 x = 0.0818$$ 23. **Troviamo $$\cos x$$:** $$\cos x = \pm \sqrt{0.9782} \approx \pm 0.989$$ $$\cos x = \pm \sqrt{0.0818} \approx \pm 0.286$$ 24. **Troviamo gli angoli $$x$$ nel dominio $$[0, 2\pi)$$:** - Per $$\cos x = 0.989$$, $$x \approx \pm \arccos(0.989) = 0.147 \text{ rad}$$ e $$2\pi - 0.147 = 6.136$$ - Per $$\cos x = -0.989$$, $$x \approx \pi - 0.147 = 2.994$$ e $$\pi + 0.147 = 3.288$$ - Per $$\cos x = 0.286$$, $$x \approx \arccos(0.286) = 1.281$$ e $$2\pi - 1.281 = 5.002$$ - Per $$\cos x = -0.286$$, $$x \approx \pi - 1.281 = 1.860$$ e $$\pi + 1.281 = 4.423$$ 25. **Conclusione:** Le soluzioni dell'equazione sono approssimativamente: $$x \approx 0.147, 6.136, 2.994, 3.288, 1.281, 5.002, 1.860, 4.423$$ Questi valori risolvono l'equazione data. **Riassunto delle regole usate:** - Formula angolo doppio per $$\sin(2x)$$ - Identità pitagorica $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ - Sostituzioni per ridurre a un'equazione in $$\cos x$$ - Risoluzione di equazioni quadratiche - Uso della funzione inversa $$\arccos$$ per trovare gli angoli Questo metodo è generale per equazioni trigonometriche che coinvolgono $$\sin x$$ e $$\cos x$$ e permette di ridurre a equazioni algebriche più semplici da risolvere.