1. Vamos analisar a função dada: $$g(x) = (\cos x - 1)^2 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi x\right) - 2 \sen\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + 3 \sen(\pi + \pi x) - 1 + \sen^2(-x)$$ 2. Usaremos identidades trigonométricas para simplificar cada termo: - Lembre que $\sen(-x) = -\sen x$, então $\sen^2(-x) = \sen^2 x$. - $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sen \theta$. - $\sen\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$. - $\sen(\pi + \theta) = -\sen \theta$. 3. Substituindo essas identidades na função: $$g(x) = (\cos x - 1)^2 - (-\sen(\pi x)) - 2(-\cos x) + 3(-\sen(\pi x)) - 1 + \sen^2 x$$ 4. Simplificando os sinais: $$g(x) = (\cos x - 1)^2 + \sen(\pi x) + 2 \cos x - 3 \sen(\pi x) - 1 + \sen^2 x$$ 5. Agrupando termos semelhantes: $$g(x) = (\cos x - 1)^2 + 2 \cos x - 1 + \sen^2 x + (\sen(\pi x) - 3 \sen(\pi x))$$ $$g(x) = (\cos x - 1)^2 + 2 \cos x - 1 + \sen^2 x - 2 \sen(\pi x)$$ 6. Expandindo $(\cos x - 1)^2$: $$ (\cos x - 1)^2 = \cos^2 x - 2 \cos x + 1 $$ 7. Substituindo na expressão: $$g(x) = \cos^2 x - 2 \cos x + 1 + 2 \cos x - 1 + \sen^2 x - 2 \sen(\pi x)$$ 8. Simplificando os termos $-2 \cos x + 2 \cos x$ e $1 - 1$: $$g(x) = \cos^2 x + \sen^2 x - 2 \sen(\pi x)$$ 9. Usando a identidade fundamental $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$: $$g(x) = 1 - 2 \sen(\pi x)$$ 10. Portanto, mostramos que: $$\boxed{g(x) = 1 - 2 \sen(\pi x)}$$