1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa $r=6.0$ m y cateto horizontal $x=3.0$ m. Debemos encontrar la longitud del cateto vertical $y$ y calcular $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. 2. Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar $y$: $$r^2 = x^2 + y^2$$ 3. Despejamos $y$: $$y = \sqrt{r^2 - x^2}$$ 4. Sustituimos los valores: $$y = \sqrt{6.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27}$$ 5. Simplificamos $\sqrt{27}$: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$$ 6. Calculamos $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$ usando definiciones trigonométricas: - $\sin \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{y}{r} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{2\cancel{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ - $\cos \theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{x}{r} = \frac{3}{6} = \frac{\cancel{3}}{2\cancel{3}} = \frac{1}{2} = 0.5$ - $\tan \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{y}{x} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \cancel{3}\sqrt{3} / \cancel{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$ 7. Resumen: - $y \approx 5.196$ m - $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ - $\cos \theta = \frac{1}{2} = 0.5$ - $\tan \theta = \sqrt{3} \approx 1.732$