1. Problema: Calcular los lados y ángulos faltantes de tres triángulos rectángulos dados. 2. Fórmulas y reglas importantes: - En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos es 90° + 90° = 180°. - Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente se definen como: $$\sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$ --- ### Triángulo 1: - Dado: lado adyacente $=10$ cm, ángulo $41^\circ$ en B, ángulo recto en C. - Ángulo faltante: $90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$ en A. - Calcular hipotenusa $h$ usando coseno: $$\cos(41^\circ) = \frac{10}{h} \Rightarrow h = \frac{10}{\cos(41^\circ)}$$ - Calcular lado opuesto $o$ usando tangente: $$\tan(41^\circ) = \frac{o}{10} \Rightarrow o = 10 \times \tan(41^\circ)$$ - Evaluando: $$h \approx \frac{10}{0.7547} \approx 13.25 \text{ cm}$$ $$o \approx 10 \times 0.8693 = 8.69 \text{ cm}$$ --- ### Triángulo 2: - Dado: ángulo $42^\circ$ en A, hipotenusa $=12$ cm, ángulo recto en C. - Ángulo faltante: $90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$ en B. - Calcular lado opuesto $o$ (opuesto a $42^\circ$) usando seno: $$\sin(42^\circ) = \frac{o}{12} \Rightarrow o = 12 \times \sin(42^\circ)$$ - Calcular lado adyacente $a$ usando coseno: $$\cos(42^\circ) = \frac{a}{12} \Rightarrow a = 12 \times \cos(42^\circ)$$ - Evaluando: $$o \approx 12 \times 0.6691 = 8.03 \text{ cm}$$ $$a \approx 12 \times 0.7431 = 8.92 \text{ cm}$$ --- ### Triángulo 3: - Dado: ángulo $32^\circ$ en B, lado opuesto $=15$ cm, ángulo recto en C. - Ángulo faltante: $90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$ en A. - Calcular hipotenusa $h$ usando seno: $$\sin(32^\circ) = \frac{15}{h} \Rightarrow h = \frac{15}{\sin(32^\circ)}$$ - Calcular lado adyacente $a$ usando coseno: $$\cos(32^\circ) = \frac{a}{h} \Rightarrow a = h \times \cos(32^\circ)$$ - Evaluando: $$h \approx \frac{15}{0.5299} \approx 28.29 \text{ cm}$$ $$a \approx 28.29 \times 0.8480 = 23.99 \text{ cm}$$ --- **Respuesta final:** - Triángulo 1: lados $h \approx 13.25$ cm, $o \approx 8.69$ cm, ángulo faltante $49^\circ$. - Triángulo 2: lados $o \approx 8.03$ cm, $a \approx 8.92$ cm, ángulo faltante $48^\circ$. - Triángulo 3: lados $h \approx 28.29$ cm, $a \approx 23.99$ cm, ángulo faltante $58^\circ$.