1. Il problema richiede di calcolare l'espressione $$\frac{\cos(-180^\circ) + 4 \sin(720^\circ) - 2 \cos(180^\circ)}{1 - 4 \sin(810^\circ)} + \frac{1}{2} \sin(90^\circ) \cos(180^\circ)$$. 2. Ricordiamo alcune proprietà fondamentali delle funzioni trigonometriche: - $$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$$ (coseno è funzione pari) - $$\sin(\theta + 360^\circ k) = \sin(\theta)$$ e $$\cos(\theta + 360^\circ k) = \cos(\theta)$$ per ogni intero $$k$$ (periodicità di 360 gradi) 3. Calcoliamo i valori delle funzioni: - $$\cos(-180^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$$ - $$\sin(720^\circ) = \sin(720^\circ - 2 \times 360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$$ - $$\cos(180^\circ) = -1$$ - $$\sin(810^\circ) = \sin(810^\circ - 2 \times 360^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$$ - $$\sin(90^\circ) = 1$$ - $$\cos(180^\circ) = -1$$ 4. Sostituiamo i valori nell'espressione: $$\frac{-1 + 4 \times 0 - 2 \times (-1)}{1 - 4 \times 1} + \frac{1}{2} \times 1 \times (-1) = \frac{-1 + 0 + 2}{1 - 4} + \frac{1}{2} \times (-1)$$ 5. Semplifichiamo numeratore e denominatore: $$\frac{(-1 + 2)}{(1 - 4)} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{-3} - \frac{1}{2}$$ 6. Per sommare le frazioni, portiamo a denominatore comune: $$\frac{1}{-3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}\right) = -\frac{5}{6}$$ 7. Quindi, il risultato finale è: $$\boxed{-\frac{5}{6}}$$