1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein Beobachtungspunkt B in Höhe $h=6,5$ m. Vom Punkt B aus wird der Fußpunkt F eines Baumes unter dem Tiefenwinkel $\delta=15^\circ$ gesehen und der höchste Punkt H des Baumes unter dem Erhebungswinkel $\varepsilon=48^\circ$. Gesucht ist die Höhe des Baumes. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck mit Punkten B, F und H. Die Höhe des Baumes ist die Differenz der Höhen von H und B. - Die horizontale Entfernung von B zu F ist $x$. - Die Höhe des Beobachtungspunktes B ist $h=6,5$ m. Aus den Winkeln und der Höhe $h$ können wir mit trigonometrischen Funktionen die Entfernungen berechnen: - $\tan(\delta) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan(\delta)}$ - $\tan(\varepsilon) = \frac{H - h}{x} \implies H = h + x \tan(\varepsilon)$ 3. **Berechnung der horizontalen Entfernung $x$:** $$ x = \frac{6,5}{\tan(15^\circ)} $$ 4. **Berechnung der Baumhöhe $H$:** $$ H = 6,5 + x \tan(48^\circ) $$ 5. **Zwischenschritte:** Berechnen wir $x$: $$ \tan(15^\circ) \approx 0,2679 $$ $$ x = \frac{6,5}{0,2679} \approx 24,26\text{ m} $$ Berechnen wir $H$: $$ \tan(48^\circ) \approx 1,1106 $$ $$ H = 6,5 + 24,26 \times 1,1106 \approx 6,5 + 26,93 = 33,43\text{ m} $$ 6. **Endergebnis:** Die Höhe des Baumes beträgt ungefähr **33,43 m**. --- 1. **Problemstellung:** Gesucht sind die Luftlinienentfernungen vom Beobachtungspunkt B zu den Punkten F und H. 2. **Formeln:** Die Luftlinie BF ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete $h$ und Winkel $\delta$. Die Luftlinie BH ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete $H - h$ und Winkel $\varepsilon$. 3. **Berechnung der Luftlinie BF:** $$ \sin(\delta) = \frac{h}{BF} \implies BF = \frac{h}{\sin(\delta)} $$ 4. **Berechnung der Luftlinie BH:** $$ \sin(\varepsilon) = \frac{H - h}{BH} \implies BH = \frac{H - h}{\sin(\varepsilon)} $$ 5. **Zwischenschritte:** $$ \sin(15^\circ) \approx 0,2588 $$ $$ BF = \frac{6,5}{0,2588} \approx 25,10\text{ m} $$ $$ \sin(48^\circ) \approx 0,7431 $$ $$ BH = \frac{33,43 - 6,5}{0,7431} = \frac{26,93}{0,7431} \approx 36,23\text{ m} $$ 6. **Endergebnis:** Die Luftlinie vom Beobachtungspunkt B zum Fußpunkt F beträgt ca. **25,10 m**. Die Luftlinie vom Beobachtungspunkt B zum höchsten Punkt H beträgt ca. **36,23 m**.