1. **Stel het probleem vast:** We moeten de gelijkheden bewijzen: a) $$\frac{\tan^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ b) $$(3 \cos \alpha + 4 \sin \alpha)^2 + (3 \cos \alpha - 4 \cos \alpha)^2 = 25$$ 2. **Herinner belangrijke identiteiten:** - $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ - $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ 3. **Bewijs a:** Begin met de teller van de breuk: $$\tan^2 \alpha - 1 = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 - 1 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$ Vervang dit in de breuk: $$\frac{\tan^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$$ Vereenvoudig door $$\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$$ te schrappen: $$= \frac{\cancel{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cancel{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Dit bewijst de eerste gelijkheid. 4. **Bewijs b:** Bereken eerst de termen binnen de haakjes: $$(3 \cos \alpha + 4 \sin \alpha)^2 = 9 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha$$ $$(3 \cos \alpha - 4 \cos \alpha)^2 = (-1 \cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha$$ Tel deze bij elkaar op: $$9 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 10 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha$$ Gebruik $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$: $$10 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 (1 - \cos^2 \alpha) = 10 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 - 16 \cos^2 \alpha$$ Vereenvoudig: $$= (10 - 16) \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 = -6 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16$$ Merk op dat de oorspronkelijke opgave waarschijnlijk een typefout bevat in de tweede term van de som. Als we aannemen dat de tweede term $$(3 \cos \alpha - 4 \sin \alpha)^2$$ is, dan wordt het: $$(3 \cos \alpha - 4 \sin \alpha)^2 = 9 \cos^2 \alpha - 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha$$ Tel nu beide termen op: $$9 \cos^2 \alpha + 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha + 9 \cos^2 \alpha - 24 \cos \alpha \sin \alpha + 16 \sin^2 \alpha = 18 \cos^2 \alpha + 32 \sin^2 \alpha$$ Gebruik $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$: $$18 \cos^2 \alpha + 32 (1 - \cos^2 \alpha) = 18 \cos^2 \alpha + 32 - 32 \cos^2 \alpha = (18 - 32) \cos^2 \alpha + 32 = -14 \cos^2 \alpha + 32$$ Dit is niet gelijk aan 25, dus de oorspronkelijke opgave moet gecontroleerd worden. **Conclusie:** Met de gegeven termen is de som niet gelijk aan 25, tenzij er een correctie is in de opgave. **Eindantwoord:** - Gelijkheid a is bewezen. - Gelijkheid b lijkt een typefout te bevatten en kan niet bewezen worden met de gegeven termen.