1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein Quader mit den Maßen $|CD|=6$ cm, $|AD|=3{,}5$ cm, $|AE|=8$ cm. Gesucht sind: a) Der Winkel $\varepsilon$ zwischen der Raumdiagonalen und der Flächendiagonalen des Quaders. b) Der Winkel $\alpha$ zwischen den Punkten $BHC$. c) Die Winkel, die die Raumdiagonale mit den Flächendiagonalen der Seitenflächen einschließt. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** - Die Raumdiagonale $d_r$ eines Quaders mit Kantenlängen $a,b,c$ ist $$d_r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ - Die Flächendiagonale einer Seitenfläche mit Seitenlängen $a,b$ ist $$d_f=\sqrt{a^2+b^2}$$ - Der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ berechnet sich mit $$\cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$ 3. **Gegebene Kanten:** - $|CD|=6$ cm (Länge) - $|AD|=3{,}5$ cm (Breite) - $|AE|=8$ cm (Höhe) --- ### a) Winkel $\varepsilon$ zwischen Raum- und Flächendiagonale 1. Raumdiagonale $\vec{e}$ vom Punkt $A$ zu $G$ (gegenüberliegender Eckpunkt): $$\vec{e} = (6,3{,}5,8)$$ 2. Flächendiagonale $\vec{d}$ der Grundfläche $ABCD$ vom Punkt $A$ zu $C$: $$\vec{d} = (6,3{,}5,0)$$ 3. Berechne Skalarprodukt: $$\vec{e}\cdot\vec{d} = 6\cdot6 + 3{,}5\cdot3{,}5 + 8\cdot0 = 36 + 12{,}25 + 0 = 48{,}25$$ 4. Beträge der Vektoren: $$|\vec{e}| = \sqrt{6^2 + 3{,}5^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 12{,}25 + 64} = \sqrt{112{,}25} = 10{,}6$$ $$|\vec{d}| = \sqrt{6^2 + 3{,}5^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 12{,}25} = \sqrt{48{,}25} = 6{,}95$$ 5. Kosinus des Winkels: $$\cos(\varepsilon) = \frac{48{,}25}{10{,}6 \times 6{,}95} = \frac{48{,}25}{73{,}67} = 0{,}655$$ 6. Winkel $\varepsilon$: $$\varepsilon = \arccos(0{,}655) \approx 49{,}1^\circ$$ --- ### b) Winkel $\alpha$ zwischen $BHC$ 1. Koordinaten der Punkte (angenommen $A$ im Ursprung): - $A=(0,0,0)$ - $B=(6,0,0)$ - $C=(6,3{,}5,0)$ - $D=(0,3{,}5,0)$ - $E=(0,0,8)$ - $F=(6,0,8)$ - $G=(6,3{,}5,8)$ - $H=(0,3{,}5,8)$ 2. Vektoren $\vec{HB}$ und $\vec{HC}$: $$\vec{HB} = B - H = (6 - 0, 0 - 3{,}5, 0 - 8) = (6, -3{,}5, -8)$$ $$\vec{HC} = C - H = (6 - 0, 3{,}5 - 3{,}5, 0 - 8) = (6, 0, -8)$$ 3. Skalarprodukt: $$\vec{HB} \cdot \vec{HC} = 6\cdot6 + (-3{,}5)\cdot0 + (-8)\cdot(-8) = 36 + 0 + 64 = 100$$ 4. Beträge: $$|\vec{HB}| = \sqrt{6^2 + (-3{,}5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 12{,}25 + 64} = \sqrt{112{,}25} = 10{,}6$$ $$|\vec{HC}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 0 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ 5. Kosinus des Winkels: $$\cos(\alpha) = \frac{100}{10{,}6 \times 10} = \frac{100}{106} = 0{,}9434$$ 6. Winkel $\alpha$: $$\alpha = \arccos(0{,}9434) \approx 19{,}7^\circ$$ --- ### c) Winkel zwischen Raumdiagonale und Flächendiagonalen der Seitenflächen 1. Raumdiagonale $\vec{e} = (6,3{,}5,8)$ wie oben. 2. Flächendiagonalen der Seitenflächen: - Fläche $ABFE$ (Länge $6$, Höhe $8$): $$\vec{d_1} = (6,0,8)$$ - Fläche $BCGF$ (Breite $3{,}5$, Höhe $8$): $$\vec{d_2} = (0,3{,}5,8)$$ - Fläche $ADHE$ (Länge $6$, Breite $3{,}5$): $$\vec{d_3} = (6,3{,}5,0)$$ 3. Winkel mit $\vec{d_1}$: $$\vec{e} \cdot \vec{d_1} = 6\cdot6 + 3{,}5\cdot0 + 8\cdot8 = 36 + 0 + 64 = 100$$ $$|\vec{d_1}| = \sqrt{6^2 + 0 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$ $$\cos(\theta_1) = \frac{100}{10{,}6 \times 10} = 0{,}9434$$ $$\theta_1 = \arccos(0{,}9434) \approx 19{,}7^\circ$$ 4. Winkel mit $\vec{d_2}$: $$\vec{e} \cdot \vec{d_2} = 6\cdot0 + 3{,}5\cdot3{,}5 + 8\cdot8 = 0 + 12{,}25 + 64 = 76{,}25$$ $$|\vec{d_2}| = \sqrt{0 + 3{,}5^2 + 8^2} = \sqrt{12{,}25 + 64} = \sqrt{76{,}25} = 8{,}73$$ $$\cos(\theta_2) = \frac{76{,}25}{10{,}6 \times 8{,}73} = \frac{76{,}25}{92{,}54} = 0{,}824$$ $$\theta_2 = \arccos(0{,}824) \approx 34{,}7^\circ$$ 5. Winkel mit $\vec{d_3}$ (wie in a)): $$\cos(\theta_3) = 0{,}655$$ $$\theta_3 = 49{,}1^\circ$$ --- **Endergebnisse:** - a) $\varepsilon \approx 49{,}1^\circ$ - b) $\alpha \approx 19{,}7^\circ$ - c) Winkel mit Flächendiagonalen: $19{,}7^\circ$, $34{,}7^\circ$, $49{,}1^\circ$