1. **Problemstellung:** Berechne die Breite der Schlucht, also die Länge der Strecke $AB$. Gegeben sind die Punkte $H$, $A$, $B$, $S$ mit $HA=21{,}5$ m, ein rechter Winkel bei $A$, Winkel $\angle ASB=76^\circ$ und Winkel $\angle HSA=21^\circ$.\n\n2. **Messverfahren:** Da $HA$ senkrecht auf $AS$ steht, können wir das Dreieck $HAS$ als rechtwinkliges Dreieck betrachten. Wir können Winkel und Seitenlängen nutzen, um $AB$ zu berechnen.\n\n3. **Winkel im Dreieck $ASB$:** Der Winkel bei $S$ ist $76^\circ$, der Winkel bei $S$ im Dreieck $HAS$ ist $21^\circ$. Daraus folgt, dass der Winkel $\angle ASB$ und $\angle HSA$ zusammen $97^\circ$ ergeben, was uns hilft, die Lage der Punkte zu verstehen.\n\n4. **Berechnung der Strecke $SB$:** Im Dreieck $ASB$ mit Winkel $\angle ASB=76^\circ$ und $\angle HSA=21^\circ$ können wir trigonometrische Beziehungen verwenden.\n\n5. **Berechnung der Strecke $AB$:** Wir nutzen den Sinussatz im Dreieck $ASB$:\n$$\frac{AB}{\sin(21^\circ)} = \frac{SB}{\sin(83^\circ)}$$\n\n6. **Berechnung von $SB$:** Im Dreieck $HAS$ gilt:\n$$\tan(21^\circ) = \frac{HA}{AS} = \frac{21{,}5}{AS} \Rightarrow AS = \frac{21{,}5}{\tan(21^\circ)}$$\n\n7. **Berechnung von $AS$ numerisch:**\n$$AS = \frac{21{,}5}{\tan(21^\circ)} \approx \frac{21{,}5}{0{,}3839} \approx 56{,}0\,m$$\n\n8. **Berechnung von $SB$:** Da $SB = AS \cdot \frac{\sin(76^\circ)}{\sin(83^\circ)}$ (aus Sinussatz im Dreieck $ASB$),\n$$SB = 56{,}0 \cdot \frac{\sin(76^\circ)}{\sin(83^\circ)} \approx 56{,}0 \cdot \frac{0{,}9703}{0{,}9925} \approx 54{,}7\,m$$\n\n9. **Berechnung von $AB$:**\n$$AB = SB \cdot \sin(21^\circ) \approx 54{,}7 \cdot 0{,}3584 \approx 19{,}6\,m$$\n\n**Antwort:** Die Breite der Schlucht beträgt ungefähr $19{,}6$ Meter.\n\n**Messverfahren:** Man misst die Höhe $HA$ senkrecht zum Abhang und die Winkel $\angle HSA$ und $\angle ASB$ mit einem Theodolit oder Winkelmesser. Dann berechnet man mit trigonometrischen Formeln die Breite $AB$.