1. **Problemstellung:** Gegeben ist das Zugseil einer Seilbahn mit einer Länge von 3 km und einem Steigungswinkel $\alpha = 21{,}1^\circ$. Gesucht ist die Höhe $h$, um die die Bergstation über der Talstation liegt. 2. **Formel und Erklärung:** Die Höhe $h$ kann mit der Sinusfunktion berechnet werden, da $h$ die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck ist, und die Seillänge die Hypotenuse darstellt: $$h = s \cdot \sin(\alpha)$$ Wichtig: Der Winkel $\alpha$ muss im Gradmaß verwendet werden, und die Länge $s$ in Metern (3 km = 3000 m). 3. **Berechnung:** $$h = 3000 \cdot \sin(21{,}1^\circ)$$ 4. **Zwischenschritt:** $$\sin(21{,}1^\circ) \approx 0{,}359$$ 5. **Endergebnis:** $$h = 3000 \cdot 0{,}359 = 1077$$ Die Bergstation liegt also etwa 1077 Meter höher als die Talstation. --- 1. **Problemstellung:** Ein Fußgänger steht 100 m vom Fußpunkt eines Turms entfernt und sieht den höchsten Punkt des Turms unter dem Winkel $\alpha = 36^\circ$. Die Augenhöhe des Fußgängers beträgt 1,60 m. Gesucht ist die Höhe $h$ des Turms. 2. **Formel und Erklärung:** Das Dreieck zwischen Fußpunkt, Turmspitze und Augenhöhe des Fußgängers ist rechtwinklig. Die Höhe des Turms ist die Summe aus der Augenhöhe und der Gegenkathete zum Winkel $\alpha$. Die Gegenkathete berechnet sich mit: $$h_{zusatz} = d \cdot \tan(\alpha)$$ Dabei ist $d = 100$ m der Abstand zum Turmfußpunkt. 3. **Berechnung:** $$h_{zusatz} = 100 \cdot \tan(36^\circ)$$ 4. **Zwischenschritt:** $$\tan(36^\circ) \approx 0{,}7265$$ 5. **Höhe des Turms:** $$h = h_{zusatz} + 1{,}60 = 100 \cdot 0{,}7265 + 1{,}60 = 72{,}65 + 1{,}60 = 74{,}25$$ Der Turm ist also etwa 74,25 Meter hoch.