1. **Problemstellung:** Johannes und Melanie wollen die minimale Seillänge $s$ bestimmen, die ein Seil zwischen zwei Bäumen in gleicher Höhe überspannt. Gegeben ist eine 2 m lange Strecke vom linken Baum aus, mit den Winkeln $\alpha = 85{,}2^\circ$ und $\beta = 67{,}1^\circ$ zu den anderen Punkten. Außerdem soll der Durchhang 10 % der Entfernung $e$ zwischen den Bäumen betragen. 2. **Gegebene Größen:** - Strecke $AB = 2$ m - Winkel $\alpha = 85{,}2^\circ$ - Winkel $\beta = 67{,}1^\circ$ - Durchhang $= 0{,}1 \cdot e$ 3. **Ziel:** Berechnung der minimalen Seillänge $s = e + 0{,}1e = 1{,}1e$. 4. **Vorgehen:** - Wir betrachten das Dreieck mit Seiten $AB = 2$ m, $BC = e$, und Winkel $\alpha$ bei $A$, Winkel $\beta$ bei $B$. - Zuerst berechnen wir den dritten Winkel $\gamma$: $$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 85{,}2^\circ - 67{,}1^\circ = 27{,}7^\circ$$ 5. **Anwendung des Sinussatzes:** $$\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{AC}{\sin(\beta)}$$ Wir interessieren uns für $BC = e$: $$e = BC = \frac{AB \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{2 \cdot \sin(85{,}2^\circ)}{\sin(27{,}7^\circ)}$$ 6. **Berechnung der Sinuswerte:** - $\sin(85{,}2^\circ) \approx 0{,}996$ - $\sin(27{,}7^\circ) \approx 0{,}465$ 7. **Einsetzen und Berechnen:** $$e = \frac{2 \cdot 0{,}996}{0{,}465} = \frac{1{,}992}{0{,}465} \approx 4{,}29 \text{ m}$$ 8. **Berücksichtigung des Durchhangs:** $$s = 1{,}1 \cdot e = 1{,}1 \cdot 4{,}29 \approx 4{,}72 \text{ m}$$ **Antwort:** Die minimale Seillänge beträgt etwa $4{,}72$ Meter.