1. **Problemstellung:** Wir sollen die fehlenden Koordinaten der Punkte auf den Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion ablesen und markieren. --- ### Aufgabe 10: Sinusfunktion $y=\sin(x)$ für $-\pi \leq x \leq 2\pi$ 2. **Formel:** Die Sinusfunktion ist definiert als $y=\sin(x)$. Wichtige Werte: - $\sin(\pi/2) = 1$ - $\sin(2\pi/3) = \sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$ - Für $y=0{,}5$ gilt $x=\pi/6$ oder $x=5\pi/6$ im Intervall - Für $y=-0{,}2$ suchen wir $x$ mit $\sin(x)=-0{,}2$ - Für $y=0{,}8$ suchen wir $x$ mit $\sin(x)=0{,}8$ 3. **Berechnung der fehlenden Koordinaten:** - a) $P(\pi/2|y_P)$: $y_P=\sin(\pi/2)=1$ - b) $Q(2/3\pi|y_Q)$: $y_Q=\sin(2\pi/3)=\sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$ - c) $S(x_S|0{,}5)$: $\sin(x_S)=0{,}5$ Lösungen im Intervall $-\pi$ bis $2\pi$ sind: $$x_S=\frac{\pi}{6}, \quad x_S=\frac{5\pi}{6}, \quad x_S=\frac{13\pi}{6}$$ - d) $T(x_T|-0{,}2)$: $\sin(x_T)=-0{,}2$ Wir finden $x_T$ mit $x_T=\arcsin(-0{,}2)$ plus mögliche Perioden: $$x_T \approx -0{,}201, \quad x_T \approx \pi - (-0{,}201) = 3{,}343$$ Im Intervall $-\pi$ bis $2\pi$ sind also: $$x_T \approx -0{,}201, \quad x_T \approx 3{,}343$$ - e) $U(x_U|0{,}8)$: $\sin(x_U)=0{,}8$ $$x_U=\arcsin(0{,}8) \approx 0{,}927, \quad x_U=\pi - 0{,}927 = 2{,}214$$ --- ### Aufgabe 11: Kosinusfunktion $y=\cos(x)$ für $-2\pi \leq x \leq \pi$ 4. **Formel:** Die Kosinusfunktion ist definiert als $y=\cos(x)$. Wichtige Werte: - $\cos(\pi/2) = 0$ - $\cos(-2\pi/3) = \cos(120^\circ) = -1/2 = -0{,}5$ - Für $y=0{,}5$ gilt $x=\pm \pi/3$ plus Perioden - Für $y=-0{,}2$ suchen wir $x$ mit $\cos(x)=-0{,}2$ - Für $y=0{,}8$ suchen wir $x$ mit $\cos(x)=0{,}8$ 5. **Berechnung der fehlenden Koordinaten:** - a) $P(\pi/2|y_P)$: $y_P=\cos(\pi/2)=0$ - b) $Q(-2/3\pi|y_Q)$: $y_Q=\cos(-2\pi/3) = \cos(2\pi/3) = -1/2 = -0{,}5$ - c) $S(x_S|0{,}5)$: $\cos(x_S)=0{,}5$ Lösungen im Intervall $-2\pi$ bis $\pi$ sind: $$x_S=\pm \frac{\pi}{3}, \quad x_S = -\frac{5\pi}{3} \text{ (da } -2\pi \leq x \leq \pi)$$ - d) $T(x_T|-0{,}2)$: $\cos(x_T)=-0{,}2$ $$x_T=\arccos(-0{,}2) \approx 1{,}772, \quad x_T = -1{,}772$$ (beide Werte im Intervall) - e) $U(x_U|0{,}8)$: $\cos(x_U)=0{,}8$ $$x_U=\arccos(0{,}8) \approx 0{,}644, \quad x_U = -0{,}644$$ --- **Zusammenfassung:** - Aufgabe 10 (Sinus): - $P(\pi/2|1)$ - $Q(2\pi/3|0{,}866)$ - $S(\pi/6|0{,}5)$, $(5\pi/6|0{,}5)$, $(13\pi/6|0{,}5)$ - $T(-0{,}201|-0{,}2)$, $(3{,}343|-0{,}2)$ - $U(0{,}927|0{,}8)$, $(2{,}214|0{,}8)$ - Aufgabe 11 (Kosinus): - $P(\pi/2|0)$ - $Q(-2\pi/3|-0{,}5)$ - $S(\pi/3|0{,}5)$, $(-\pi/3|0{,}5)$, $(-5\pi/3|0{,}5)$ - $T(1{,}772|-0{,}2)$, $(-1{,}772|-0{,}2)$ - $U(0{,}644|0{,}8)$, $(-0{,}644|0{,}8)$ --- Diese Punkte können in der Skizze markiert werden.