1. **Énoncé du problème :** Nous avons un angle $\alpha$ dans le troisième quadrant avec $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$. 2. **Formules importantes :** On sait que pour tout angle $\alpha$ : $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ 3. **Calcul de $\cos \alpha$ :** $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ 4. **Valeur de $\cos \alpha$ :** Puisque $\alpha$ est dans le troisième quadrant, $\cos \alpha$ est négatif : $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$ 5. **Calcul de $\tan \alpha$ :** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{-4}{5} \times \frac{5}{-3} = \frac{4}{3}$$ 6. **Résumé :** - $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ - $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ - $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ Ces valeurs sont cohérentes avec un angle dans le troisième quadrant où le sinus et le cosinus sont négatifs, et la tangente est positive.