1. **Problem statement:** Von zwei Punkten A und B, die 420 m voneinander entfernt sind, sieht man die Spitze eines Turmes unter den Erhöhungswinkeln $\alpha = 5^\circ 20'$ und $\beta = 16^\circ 45'$. Gesucht ist eine Gleichung für die Turmhöhe $h$ in Abhängigkeit von $\alpha$, $\beta$ und $a=420$ m, sowie die Berechnung von $h$ mit den gegebenen Werten. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir betrachten das Dreieck mit Basis $a$ und der Höhe $h$. Die Turmhöhe $h$ kann mit den Tangensfunktionen der Winkel $\alpha$ und $\beta$ ausgedrückt werden, da $\tan(\theta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ gilt. 3. **Herleitung der Gleichung:** Sei $x$ die horizontale Entfernung von Punkt A zum Turmfuß. Dann gilt: $$h = x \tan(\alpha) = (a - x) \tan(\beta)$$ 4. **Gleichung nach $x$ auflösen:** $$x \tan(\alpha) = (a - x) \tan(\beta)$$ $$x \tan(\alpha) = a \tan(\beta) - x \tan(\beta)$$ $$x \tan(\alpha) + x \tan(\beta) = a \tan(\beta)$$ $$x (\tan(\alpha) + \tan(\beta)) = a \tan(\beta)$$ $$x = \frac{a \tan(\beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}$$ 5. **Turmhöhe $h$ in Abhängigkeit von $\alpha$, $\beta$ und $a$:** $$h = x \tan(\alpha) = \frac{a \tan(\beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)} \tan(\alpha) = \frac{a \tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}$$ 6. **Werte einsetzen:** Winkel in Grad umrechnen: $$\alpha = 5^\circ 20' = 5 + \frac{20}{60} = 5.3333^\circ$$ $$\beta = 16^\circ 45' = 16 + \frac{45}{60} = 16.75^\circ$$ 7. **Tangenswerte berechnen:** $$\tan(5.3333^\circ) \approx 0.0931$$ $$\tan(16.75^\circ) \approx 0.3011$$ 8. **Turmhöhe berechnen:** $$h = \frac{420 \times 0.0931 \times 0.3011}{0.0931 + 0.3011} = \frac{420 \times 0.0280}{0.3942} = \frac{11.76}{0.3942} \approx 29.83 \text{ m}$$ **Antwort:** Die Turmhöhe beträgt ungefähr $29.83$ Meter.