1. **Problemstellung:** Berechne die fehlenden Winkelgrößen $\alpha$ und $\beta$ in einem rechtwinkligen Dreieck, gegeben ist die Hypotenuse $c=8{,}2$ cm und eine Kathete $a=6$ cm. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: $$c^2 = a^2 + b^2$$ Außerdem gilt für die Winkel: $$\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$ $$\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$ $$\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$ Die Summe der Winkel in einem Dreieck ist $180^\circ$, und im rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$, also gilt: $$\alpha + \beta = 90^\circ$$ 3. **Berechnung der fehlenden Seite $b$:** $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{8{,}2^2 - 6^2} = \sqrt{67{,}24 - 36} = \sqrt{31{,}24}$$ $$b \approx 5{,}59\text{ cm}$$ 4. **Berechnung des Winkels $\alpha$:** Wir verwenden den Sinus: $$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{6}{8{,}2}$$ $$\sin \alpha = \frac{\cancel{6}}{\cancel{8{,}2}} \approx 0{,}7317$$ 5. **Winkel $\alpha$ bestimmen:** $$\alpha = \arcsin(0{,}7317) \approx 47{,}1^\circ$$ 6. **Winkel $\beta$ berechnen:** $$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 47{,}1^\circ = 42{,}9^\circ$$ **Antwort:** Die fehlenden Winkel sind $\alpha \approx 47{,}1^\circ$ und $\beta \approx 42{,}9^\circ$.