1. **Problemstellung:** Bestimme den zweiten Winkel \(\alpha\) für die Gleichungen \(\sin \alpha = \sin 50^\circ\), \(\cos \alpha = \cos 40^\circ\), \(\sin \alpha = \sin 5^\circ\) und \(\cos \alpha = \cos 82^\circ\). 2. **Wichtige Regeln:** - Für Sinus gilt: \(\sin \alpha = \sin \beta\) hat Lösungen \(\alpha = \beta + 360^\circ k\) oder \(\alpha = 180^\circ - \beta + 360^\circ k\) mit ganzzahligem \(k\). - Für Kosinus gilt: \(\cos \alpha = \cos \beta\) hat Lösungen \(\alpha = \beta + 360^\circ k\) oder \(\alpha = -\beta + 360^\circ k\). 3. **Berechnung für Aufgabe 4:** **a) \(\sin \alpha = \sin 50^\circ\)** - Zweite Lösung: \(\alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) **b) \(\cos \alpha = \cos 40^\circ\)** - Zweite Lösung: \(\alpha = 360^\circ - 40^\circ = 320^\circ\) **c) \(\sin \alpha = \sin 5^\circ\)** - Zweite Lösung: \(\alpha = 180^\circ - 5^\circ = 175^\circ\) **d) \(\cos \alpha = \cos 82^\circ\)** - Zweite Lösung: \(\alpha = 360^\circ - 82^\circ = 278^\circ\) --- 4. **Problemstellung:** Bestimme jeweils zwei Winkel \(\alpha\) für die Gleichungen \(\sin \alpha = -\sin 23^\circ\), \(\cos \alpha = -\cos 38^\circ\), \(\cos \alpha = -\cos 75^\circ\) und \(\sin \alpha = -\sin 50^\circ\). 5. **Wichtige Regeln:** - \(\sin \alpha = -\sin \beta\) bedeutet \(\sin \alpha = \sin (-\beta)\), also Lösungen \(\alpha = -\beta + 360^\circ k\) oder \(\alpha = 180^\circ + \beta + 360^\circ k\). - \(\cos \alpha = -\cos \beta\) bedeutet \(\cos \alpha = \cos (180^\circ - \beta)\), also Lösungen \(\alpha = 180^\circ - \beta + 360^\circ k\) oder \(\alpha = 180^\circ + \beta + 360^\circ k\). 6. **Berechnung für Aufgabe 5:** **a) \(\sin \alpha = -\sin 23^\circ\)** - \(\alpha_1 = 360^\circ - 23^\circ = 337^\circ\) - \(\alpha_2 = 180^\circ + 23^\circ = 203^\circ\) **b) \(\cos \alpha = -\cos 38^\circ\)** - \(\alpha_1 = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\) - \(\alpha_2 = 180^\circ + 38^\circ = 218^\circ\) **c) \(\cos \alpha = -\cos 75^\circ\)** - \(\alpha_1 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\) - \(\alpha_2 = 180^\circ + 75^\circ = 255^\circ\) **d) \(\sin \alpha = -\sin 50^\circ\)** - \(\alpha_1 = 360^\circ - 50^\circ = 310^\circ\) - \(\alpha_2 = 180^\circ + 50^\circ = 230^\circ\) **Endergebnis:** - Aufgabe 4: \(\alpha = 130^\circ, 320^\circ, 175^\circ, 278^\circ\) - Aufgabe 5: \(\alpha = 337^\circ, 203^\circ, 142^\circ, 218^\circ, 105^\circ, 255^\circ, 310^\circ, 230^\circ\)