1. Problem: Finde Paare von Winkeln aus der Liste, die denselben Kosinuswert haben. 2. Formel: Kosinus ist periodisch mit Periode 360° und symmetrisch bezüglich der y-Achse. Für Winkel $\alpha$ gilt: $$\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)$$ 3. Paare mit gleichem Kosinuswert sind z.B.: - $220^\circ$ und $140^\circ$ (weil $360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$) - $200^\circ$ und $160^\circ$ - $250^\circ$ und $110^\circ$ - $10^\circ$ und $350^\circ$ - $170^\circ$ und $190^\circ$ - $60^\circ$ und $300^\circ$ - $210^\circ$ und $150^\circ$ 4. Beobachtung: Die Paare liegen symmetrisch um $180^\circ$ oder $360^\circ$ und haben denselben Kosinuswert, da Kosinus eine gerade Funktion ist und periodisch. --- 5. Problem: Finde ein Intervall, in dem die Sinuskurve unterhalb der $\alpha$-Achse liegt, steigt und die Kosinuskurve oberhalb der Sinuskurve liegt. 6. Sinus ist unterhalb der Achse, wenn $\sin(\alpha) < 0$, und steigt, wenn $\cos(\alpha) > 0$ (da $\frac{d}{d\alpha} \sin(\alpha) = \cos(\alpha)$). 7. Kosinus liegt oberhalb der Sinuskurve, wenn $\cos(\alpha) > \sin(\alpha)$. 8. Ein Beispielintervall ist $\alpha \in (270^\circ, 360^\circ)$, da hier $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) > 0$ und $\cos(\alpha) > \sin(\alpha)$. --- 9. Problem: Intervalle aus dem Graphen bestimmen: a) Sinusfunktion positiv und steigend: $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$ b) Sinusfunktion negativ und steigend: $\alpha \in (270^\circ, 360^\circ)$ c) Kosinusfunktion positiv und fallend: $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$ d) Kosinusfunktion negativ und steigend: $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$ --- 10. Problem: Winkel, bei denen Sinus und Kosinus a) denselben Wert haben: $\alpha = 45^\circ, 225^\circ$ b) entgegengesetzt gleiche Werte: $\alpha = 135^\circ, 315^\circ$ (weil $\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$) c) Sinus größer als Kosinus: $\alpha \in (45^\circ, 135^\circ)$ d) Sinus kleiner als Kosinus: $\alpha \in (0^\circ, 45^\circ) \cup (135^\circ, 360^\circ)$ --- 11. Problem: Bestimme Winkel $\alpha$ für gegebene Sinuswerte (a) und Kosinuswerte (b), runde auf 1 Dezimalstelle. Beispiel für $\sin \alpha = -0{,}1$: $$\alpha_1 = \arcsin(-0{,}1) = -5{,}7^\circ \Rightarrow 360^\circ - 5{,}7^\circ = 354{,}3^\circ$$ $$\alpha_2 = 180^\circ - (-5{,}7^\circ) = 185{,}7^\circ$$ Analog für andere Werte und Kosinus mit $\arccos$. --- 12. Problem: Sinuskurve zeichnen mit 2 cm Einheit auf 12 cm Länge und 6 cm Höhe, Kurve in Rechtecke schneiden, neue Kurven zusammensetzen mit Drehung um 180°. Antwort: Ohne Knicke findet man 1 vollständige Sinuswelle, mit Knicken mehrere Kurvenstücke, Anzahl abhängig von Schnittanzahl. --- Ende der Aufgaben.